正四面体ABCDのAB, AC, ADの中点をそれぞれE, F, Gとする。E, F, Gを通る平面で1つのかどを切り取ってできる多面体について、次の2つの問いに答える問題です。 (1) 切り口はどのような図形になるか。 (2) (頂点の数) - (辺の数) + (面の数) = 2 が成り立つことを説明せよ。

1. 問題の内容

正四面体ABCDのAB, AC, ADの中点をそれぞれE, F, Gとする。E, F, Gを通る平面で1つのかどを切り取ってできる多面体について、次の2つの問いに答える問題です。

(1) 切り口はどのような図形になるか。

(2) (頂点の数) - (辺の数) + (面の数) = 2 が成り立つことを説明せよ。

2. 解き方の手順

(1) 切り口の形状について

E, F, GはそれぞれAB, AC, ADの中点なので、EF, FG, GEはそれぞれBC, CD, DBに平行で、その長さは半分です。つまり、$\triangle EFG$と$\triangle BCD$は相似であり、EF = BC/2, FG = CD/2, GE = DB/2が成り立ちます。正四面体なので、BC=CD=DBです。したがって、EF=FG=GEとなり、$\triangle EFG$は正三角形となります。切り口は正三角形です。

(2) オイラーの多面体定理の説明

切り取った後の多面体の頂点、辺、面の数をそれぞれV, E, Fとします。

頂点の数 V = 3 (E, F, G) + 3 (B, C, D) = 6

辺の数 E = 3 (EF, FG, GE) + 3 (BC, CD, DB) + 3 (EB, FC, GD) = 9

面の数 F = 1 ($\triangle EFG$) + 1 ($\triangle BCD$) + 3 (四角形EBCF, FCAG, GDAE) = 5

したがって、

$V - E + F = 6 - 9 + 5 = 2$

これにより、オイラーの多面体定理が成り立つことが示されました。

3. 最終的な答え

(1) 正三角形

(2) 頂点の数 - 辺の数 + 面の数 = 6 - 9 + 5 = 2となり、成り立つ。