正方形のまわりに幅 $a$ mの道がある。道の真ん中を通る線の長さを $l$、道の面積を $S$ とするとき、$S=al$ となることを証明する。空欄に当てはまる式を答える。

1. 問題の内容

正方形のまわりに幅 $a$ mの道がある。道の真ん中を通る線の長さを $l$、道の面積を $S$ とするとき、$S=al$ となることを証明する。空欄に当てはまる式を答える。

2. 解き方の手順

正方形の一辺の長さを $n$ mとする。

道の面積 $S$ は、大きい正方形の面積から小さい正方形の面積を引いたものに等しい。大きい正方形の一辺の長さは $n+2a$ であるから、

$S=(n+2a)^2 - n^2 = n^2 + 4an + 4a^2 - n^2 = 4an + 4a^2$

道の真ん中を通る線の長さ $l$ は、正方形の一辺の長さ $n$ に、四隅にある半径 $a$ の円の円周を足したものに等しい。つまり、

$l = 4n + 2\pi a$ (正方形の周の長さ+円周)

これは正方形と四隅の円弧部分を合わせた図形の周囲の長さに相当する。

しかし、問題文の図を見ると、四隅は半径 $a$ の半円が組み合わさった形になっているので、円周に等しくなる。したがって、道の中央を通る線路の長さは、正方形の1辺がnなので、4n + 2πaと記述してはいけない。四隅の半円を組み合わせると、半径aの円と同じになるから、円周の長さは $2 \pi a$ になる。また、正方形の1辺の長さをnとすると、道の中央を通る正方形の1辺の長さは n+a となる。したがって、道の真ん中を通る線の長さ $l$ は、

$l = 4(n+a) = 4n + 4a$

ここで、$al$ を計算すると、

$al = a(4n + 4a) = 4an + 4a^2$

したがって、

$S = 4an + 4a^2$

$al = 4an + 4a^2$

よって、$S = al$ となる。

3. 最終的な答え

$S = 4an + 4a^2$

$l = 4n + 4a$

$al = 4an + 4a^2$