3点A($\vec{a}$), B($\vec{b}$), C($\vec{c}$)を頂点とする三角形ABCがある。辺AB, ACの中点をそれぞれM, Nとし、辺BCを3等分する点をBに近い方からD, Eとする。また、三角形ABCの重心をGとする。以下のベクトルを$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表せ。 (1) 点M, N, D, E, Gの位置ベクトル (2) $\vec{CM}$ (3) $\vec{AD}$ (4) $\vec{DN}$ (5) $\vec{GM}$

1. 問題の内容

3点A($\vec{a}$), B($\vec{b}$), C($\vec{c}$)を頂点とする三角形ABCがある。辺AB, ACの中点をそれぞれM, Nとし、辺BCを3等分する点をBに近い方からD, Eとする。また、三角形ABCの重心をGとする。以下のベクトルを$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表せ。

(1) 点M, N, D, E, Gの位置ベクトル

(2) $\vec{CM}$

(3) $\vec{AD}$

(4) $\vec{DN}$

(5) $\vec{GM}$

2. 解き方の手順

(1) 各点の位置ベクトルを求める。

MはABの中点なので、$\vec{m} = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$

NはACの中点なので、$\vec{n} = \frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}$

DはBCを1:2に内分するので、$\vec{d} = \frac{2\vec{b}+\vec{c}}{3}$

EはBCを2:1に内分するので、$\vec{e} = \frac{\vec{b}+2\vec{c}}{3}$

Gは三角形ABCの重心なので、$\vec{g} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$

(2) $\vec{CM} = \vec{m} - \vec{c}$を計算する。

$\vec{CM} = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2} - \vec{c} = \frac{\vec{a}+\vec{b}-2\vec{c}}{2}$

(3) $\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a}$を計算する。

$\vec{AD} = \frac{2\vec{b}+\vec{c}}{3} - \vec{a} = \frac{-3\vec{a}+2\vec{b}+\vec{c}}{3}$

(4) $\vec{DN} = \vec{n} - \vec{d}$を計算する。

$\vec{DN} = \frac{\vec{a}+\vec{c}}{2} - \frac{2\vec{b}+\vec{c}}{3} = \frac{3\vec{a}+3\vec{c}-4\vec{b}-2\vec{c}}{6} = \frac{3\vec{a}-4\vec{b}+\vec{c}}{6}$

(5) $\vec{GM} = \vec{m} - \vec{g}$を計算する。

$\vec{GM} = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2} - \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} = \frac{3\vec{a}+3\vec{b}-2\vec{a}-2\vec{b}-2\vec{c}}{6} = \frac{\vec{a}+\vec{b}-2\vec{c}}{6}$

3. 最終的な答え

(1)

$\vec{m} = \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$

$\vec{n} = \frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}$

$\vec{d} = \frac{2\vec{b}+\vec{c}}{3}$

$\vec{e} = \frac{\vec{b}+2\vec{c}}{3}$

$\vec{g} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$

(2)

$\vec{CM} = \frac{\vec{a}+\vec{b}-2\vec{c}}{2}$

(3)

$\vec{AD} = \frac{-3\vec{a}+2\vec{b}+\vec{c}}{3}$

(4)

$\vec{DN} = \frac{3\vec{a}-4\vec{b}+\vec{c}}{6}$

(5)

$\vec{GM} = \frac{\vec{a}+\vec{b}-2\vec{c}}{6}$