与えられた曲線について、x軸方向に-2、y軸方向に3だけ平行移動した曲線の方程式を求め、さらにその焦点を求める問題です。以下の3つの曲線についてそれぞれ求めます。 (1) $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ (2) $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$ (3) $y^2 = 4x$

1. 問題の内容

与えられた曲線について、x軸方向に-2、y軸方向に3だけ平行移動した曲線の方程式を求め、さらにその焦点を求める問題です。以下の3つの曲線についてそれぞれ求めます。

(1) $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$

(2) $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$

(3) $y^2 = 4x$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ (楕円)の場合：

* 平行移動後の曲線の方程式を求める。

x軸方向に-2, y軸方向に3平行移動するので、$x$を$x+2$、$y$を$y-3$に置き換えます。

$\frac{(x+2)^2}{4} + (y-3)^2 = 1$

* 移動前の焦点の座標を求める。

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$の形の楕円において、焦点は$c^2 = a^2 - b^2$で計算します。

この問題では$a^2 = 4, b^2 = 1$なので、$c^2 = 4 - 1 = 3$。よって、$c = \sqrt{3}$。

移動前の焦点は $(\pm \sqrt{3}, 0)$ です。

* 移動後の焦点の座標を求める。

x軸方向に-2, y軸方向に3平行移動するので、$(\pm \sqrt{3} - 2, 3)$が移動後の焦点の座標となります。

(2) $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$ (双曲線)の場合：

* 平行移動後の曲線の方程式を求める。

x軸方向に-2, y軸方向に3平行移動するので、$x$を$x+2$、$y$を$y-3$に置き換えます。

$\frac{(x+2)^2}{4} - \frac{(y-3)^2}{9} = 1$

* 移動前の焦点の座標を求める。

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$の形の双曲線において、焦点は$c^2 = a^2 + b^2$で計算します。

この問題では$a^2 = 4, b^2 = 9$なので、$c^2 = 4 + 9 = 13$。よって、$c = \sqrt{13}$。

移動前の焦点は $(\pm \sqrt{13}, 0)$ です。

* 移動後の焦点の座標を求める。

x軸方向に-2, y軸方向に3平行移動するので、$(\pm \sqrt{13} - 2, 3)$が移動後の焦点の座標となります。

(3) $y^2 = 4x$ (放物線)の場合：

* 平行移動後の曲線の方程式を求める。

x軸方向に-2, y軸方向に3平行移動するので、$x$を$x+2$、$y$を$y-3$に置き換えます。

$(y-3)^2 = 4(x+2)$

* 移動前の焦点の座標を求める。

$y^2 = 4px$の形の放物線において、焦点は $(p, 0)$です。

この問題では$4p = 4$なので、$p = 1$。

移動前の焦点は $(1, 0)$ です。

* 移動後の焦点の座標を求める。

x軸方向に-2, y軸方向に3平行移動するので、$(1 - 2, 3) = (-1, 3)$が移動後の焦点の座標となります。

3. 最終的な答え

(1) 曲線の方程式: $\frac{(x+2)^2}{4} + (y-3)^2 = 1$, 焦点: $(\pm \sqrt{3} - 2, 3)$

(2) 曲線の方程式: $\frac{(x+2)^2}{4} - \frac{(y-3)^2}{9} = 1$, 焦点: $(\pm \sqrt{13} - 2, 3)$

(3) 曲線の方程式: $(y-3)^2 = 4(x+2)$, 焦点: $(-1, 3)$