点 $(2, 6)$ を通り、円 $x^2 + y^2 = 20$ に接する直線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $(2, 6)$ を通り、円 $x^2 + y^2 = 20$ に接する直線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、点 $(2, 6)$ を通る直線の式を $y = m(x - 2) + 6$ とおきます。これは $y = mx - 2m + 6$ と変形できます。

さらに、一般形に直すと $mx - y - 2m + 6 = 0$ となります。

円 $x^2 + y^2 = 20$ の中心は $(0, 0)$ であり、半径は $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ です。

直線 $mx - y - 2m + 6 = 0$ が円 $x^2 + y^2 = 20$ に接するためには、円の中心から直線までの距離が半径に等しくなければなりません。

点と直線の距離の公式より、

$\frac{|m(0) - (0) - 2m + 6|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 2\sqrt{5}$

これを整理すると、

$\frac{|-2m + 6|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2\sqrt{5}$

両辺を2で割ると、

$\frac{|-m + 3|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{5}$

両辺を2乗すると、

$\frac{(-m + 3)^2}{m^2 + 1} = 5$

$(-m + 3)^2 = 5(m^2 + 1)$

$m^2 - 6m + 9 = 5m^2 + 5$

$4m^2 + 6m - 4 = 0$

$2m^2 + 3m - 2 = 0$

$(2m - 1)(m + 2) = 0$

よって、$m = \frac{1}{2}, -2$ となります。

$m = \frac{1}{2}$ のとき、直線の方程式は $y = \frac{1}{2}(x - 2) + 6 = \frac{1}{2}x - 1 + 6 = \frac{1}{2}x + 5$

すなわち、$x - 2y + 10 = 0$

$m = -2$ のとき、直線の方程式は $y = -2(x - 2) + 6 = -2x + 4 + 6 = -2x + 10$

すなわち、$2x + y - 10 = 0$

3. 最終的な答え

$x - 2y + 10 = 0$

$2x + y - 10 = 0$