円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $2x - 3y - k = 0$ について、以下の問いに答えます。 (1) 円と直線が接するような定数 $k$ の値を求めます。 (2) 円と直線が共有点をもたないような定数 $k$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $2x - 3y - k = 0$ について、以下の問いに答えます。

(1) 円と直線が接するような定数 $k$ の値を求めます。

(2) 円と直線が共有点をもたないような定数 $k$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 円と直線が接するとき、円の中心と直線との距離が円の半径に等しくなります。円 $x^2 + y^2 = 5$ の中心は原点 $(0, 0)$ で、半径は $\sqrt{5}$ です。点 $(0, 0)$ と直線 $2x - 3y - k = 0$ との距離 $d$ は、

$d = \frac{|2(0) - 3(0) - k|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|-k|}{\sqrt{13}} = \frac{|k|}{\sqrt{13}}$

円と直線が接するので、$d = \sqrt{5}$ となります。

$\frac{|k|}{\sqrt{13}} = \sqrt{5}$

$|k| = \sqrt{5} \cdot \sqrt{13} = \sqrt{65}$

したがって、$k = \pm \sqrt{65}$ となります。

(2) 円と直線が共有点をもたないとき、円の中心と直線との距離が円の半径よりも大きくなります。つまり、$d > \sqrt{5}$ となります。

$\frac{|k|}{\sqrt{13}} > \sqrt{5}$

$|k| > \sqrt{65}$

したがって、$k > \sqrt{65}$ または $k < -\sqrt{65}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $k = \sqrt{65}, -\sqrt{65}$

(2) $k < -\sqrt{65}, k > \sqrt{65}$