三角形ABCにおいて、A=5, b=6, C=7のとき、この三角形の内接円の半径rを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、A=5, b=6, C=7のとき、この三角形の内接円の半径rを求める。

2. 解き方の手順

まず、ヘロンの公式を用いて三角形の面積Sを求める。

ヘロンの公式は$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$で表され、ここで$s$は半周長、$s = \frac{a+b+c}{2}$である。

今回の問題では、$a=5, b=6, c=7$なので、$s = \frac{5+6+7}{2} = \frac{18}{2} = 9$となる。

したがって、$S = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}$

次に、内接円の半径rと三角形の面積Sの関係式$S = rs$を利用して、rを求める。

$S = rs$より、$r = \frac{S}{s}$となる。

よって、$r = \frac{6\sqrt{6}}{9} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\sqrt{6}}{3}$