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与えられたベクトルに関する等式 $\vec{p} \cdot \vec{p} - 2(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{p} + 4\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{p} - (\vec{a} + \vec{b})|^2 - |\vec{a} - \vec{b}|^2$ を解く (あるいは、等式が成立することを示す)。

幾何学ベクトル内積ベクトルの等式
2025/6/28

1. 問題の内容

与えられたベクトルに関する等式 p⃗⋅p⃗−2(a⃗+b⃗)⋅p⃗+4a⃗⋅b⃗=∣p⃗−(a⃗+b⃗)∣2−∣a⃗−b⃗∣2\vec{p} \cdot \vec{p} - 2(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{p} + 4\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{p} - (\vec{a} + \vec{b})|^2 - |\vec{a} - \vec{b}|^2 を解く (あるいは、等式が成立することを示す)。

2. 解き方の手順

まず、左辺と右辺をそれぞれ展開し、簡略化して比較することで等式が成り立つことを示す。
左辺:
p⃗⋅p⃗−2(a⃗+b⃗)⋅p⃗+4a⃗⋅b⃗=∣p⃗∣2−2a⃗⋅p⃗−2b⃗⋅p⃗+4a⃗⋅b⃗\vec{p} \cdot \vec{p} - 2(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{p} + 4\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{p}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{p} - 2\vec{b} \cdot \vec{p} + 4\vec{a} \cdot \vec{b}
右辺:
∣p⃗−(a⃗+b⃗)∣2−∣a⃗−b⃗∣2=(p⃗−(a⃗+b⃗))⋅(p⃗−(a⃗+b⃗))−(a⃗−b⃗)⋅(a⃗−b⃗)|\vec{p} - (\vec{a} + \vec{b})|^2 - |\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{p} - (\vec{a} + \vec{b})) \cdot (\vec{p} - (\vec{a} + \vec{b})) - (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})
=p⃗⋅p⃗−p⃗⋅(a⃗+b⃗)−(a⃗+b⃗)⋅p⃗+(a⃗+b⃗)⋅(a⃗+b⃗)−(a⃗⋅a⃗−a⃗⋅b⃗−b⃗⋅a⃗+b⃗⋅b⃗)= \vec{p} \cdot \vec{p} - \vec{p} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) - (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{p} + (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) - (\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b})
=∣p⃗∣2−p⃗⋅a⃗−p⃗⋅b⃗−a⃗⋅p⃗−b⃗⋅p⃗+a⃗⋅a⃗+a⃗⋅b⃗+b⃗⋅a⃗+b⃗⋅b⃗−∣a⃗∣2+a⃗⋅b⃗+b⃗⋅a⃗−∣b⃗∣2= |\vec{p}|^2 - \vec{p} \cdot \vec{a} - \vec{p} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{p} - \vec{b} \cdot \vec{p} + \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} - |\vec{a}|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - |\vec{b}|^2
=∣p⃗∣2−2a⃗⋅p⃗−2b⃗⋅p⃗+∣a⃗∣2+2a⃗⋅b⃗+∣b⃗∣2−∣a⃗∣2+2a⃗⋅b⃗−∣b⃗∣2= |\vec{p}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{p} - 2\vec{b} \cdot \vec{p} + |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{b}|^2
=∣p⃗∣2−2a⃗⋅p⃗−2b⃗⋅p⃗+4a⃗⋅b⃗= |\vec{p}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{p} - 2\vec{b} \cdot \vec{p} + 4\vec{a} \cdot \vec{b}
したがって、左辺と右辺は等しい。

3. 最終的な答え

等式 p⃗⋅p⃗−2(a⃗+b⃗)⋅p⃗+4a⃗⋅b⃗=∣p⃗−(a⃗+b⃗)∣2−∣a⃗−b⃗∣2\vec{p} \cdot \vec{p} - 2(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{p} + 4\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{p} - (\vec{a} + \vec{b})|^2 - |\vec{a} - \vec{b}|^2 は成立する。

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