与えられた円に外接または内接し、中心が(4, -3)である円の方程式を求める問題です。 (1) 円 $x^2 + y^2 = 4$ に外接する円の方程式を求めます。中心は $(4, -3)$ です。 (2) 円 $x^2 + y^2 = 49$ に内接する円の方程式を求めます。中心は $(4, -3)$ です。

1. 問題の内容

与えられた円に外接または内接し、中心が(4, -3)である円の方程式を求める問題です。

(1) 円 $x^2 + y^2 = 4$ に外接する円の方程式を求めます。中心は $(4, -3)$ です。

(2) 円 $x^2 + y^2 = 49$ に内接する円の方程式を求めます。中心は $(4, -3)$ です。

2. 解き方の手順

円の方程式は、中心を $(a, b)$、半径を $r$ とすると、$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ と表されます。

(1) 外接する場合

円 $x^2 + y^2 = 4$ の中心は $(0, 0)$、半径は $2$ です。求める円の中心は $(4, -3)$ なので、この2つの円の中心間の距離 $d$ は、

$d = \sqrt{(4 - 0)^2 + (-3 - 0)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

外接する場合、2つの円の半径の和が中心間の距離に等しくなります。求める円の半径を $r$ とすると、

$r + 2 = 5$

$r = 3$

したがって、求める円の方程式は、

$(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 3^2$

$(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 9$

(2) 内接する場合

円 $x^2 + y^2 = 49$ の中心は $(0, 0)$、半径は $7$ です。求める円の中心は $(4, -3)$ なので、この2つの円の中心間の距離 $d$ は、(1) と同様に $5$ です。

内接する場合、2つの円の半径の差が中心間の距離に等しくなります。求める円の半径を $r$ とすると、

$|r - 7| = 5$

したがって、$r - 7 = 5$ または $r - 7 = -5$ となります。

$r - 7 = 5$ の場合、$r = 12$ となります。

$r - 7 = -5$ の場合、$r = 2$ となります。

$x^2 + y^2 = 49$に内接するには、$r$は7より小さくはならないので、求める円は$x^2 + y^2 = 49$を内側に含む必要があります。

したがって、$x^2 + y^2 = 49$に内接するためには、半径rは $7 - 5 = 2$であることはあり得ない（$r = 2 < 7$）。

したがって、求める円の半径は $r=12$ となります。

$(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 12^2$

$(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 144$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 9$

(2) $(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 144$