円錐の展開図が与えられており、その円錐の体積を求める問題です。展開図から、円錐の母線の長さは5cm、側面のおうぎ形の中心角は216°であることがわかります。

1. 問題の内容

円錐の展開図が与えられており、その円錐の体積を求める問題です。展開図から、円錐の母線の長さは5cm、側面のおうぎ形の中心角は216°であることがわかります。

2. 解き方の手順

まず、円錐の底面の半径を求めます。側面のおうぎ形の弧の長さは、底面の円周に等しくなります。

おうぎ形の弧の長さは、半径 $r$、中心角 $\theta$ のとき、$2 \pi r \times \frac{\theta}{360}$ で求められます。この問題では、母線（半径）は5cm、中心角は216°なので、おうぎ形の弧の長さは、

$2 \pi \times 5 \times \frac{216}{360} = 2 \pi \times 5 \times \frac{3}{5} = 6\pi$

底面の円周は、$2 \pi r$ で表されるので、これが $6\pi$ に等しくなります。したがって、

$2 \pi r = 6\pi$

$r = 3$

底面の半径は3cmです。

次に、円錐の高さを求めます。円錐の高さ $h$、底面の半径 $r$、母線 $l$ の間には、$h^2 + r^2 = l^2$ の関係があります。この問題では、$r = 3$、 $l = 5$なので、

$h^2 + 3^2 = 5^2$

$h^2 + 9 = 25$

$h^2 = 16$

$h = 4$

円錐の高さは4cmです。

最後に、円錐の体積を求めます。円錐の体積 $V$ は、$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ で求められます。この問題では、$r = 3$、 $h = 4$なので、

$V = \frac{1}{3} \pi \times 3^2 \times 4 = \frac{1}{3} \pi \times 9 \times 4 = 12\pi$

したがって、円錐の体積は $12\pi$ cm³ です。

3. 最終的な答え

$12\pi$ cm³