ベクトル $\vec{a} = (\sqrt{6} + \sqrt{2}, \sqrt{6} - \sqrt{2})$ とベクトル $\vec{b} = (1, 1)$ が与えられたとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (\sqrt{6} + \sqrt{2}, \sqrt{6} - \sqrt{2})$ とベクトル $\vec{b} = (1, 1)$ が与えられたとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

ベクトルの内積の定義式 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$ を利用して、$\cos{\theta}$ を求め、$\theta$ を求めます。

まず、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ を計算します。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 1 + (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 1 = \sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{2} = 2\sqrt{6}$

次に、$|\vec{a}|$ を計算します。

$|\vec{a}| = \sqrt{(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 + (\sqrt{6} - \sqrt{2})^2}$

$= \sqrt{(6 + 2\sqrt{12} + 2) + (6 - 2\sqrt{12} + 2)}$

$= \sqrt{6 + 4\sqrt{3} + 2 + 6 - 4\sqrt{3} + 2}$

$= \sqrt{16} = 4$

次に、$|\vec{b}|$ を計算します。

$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

内積の定義式より、

$\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{2\sqrt{6}}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos{\theta} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$\theta = \frac{\pi}{6}$（ラジアン）または $\theta = 30^\circ$ です。

3. 最終的な答え

$\theta = 30^\circ$