点 $A(3, -1)$ を通り、直線 $3x + 2y + 1 = 0$ に垂直な直線と平行な直線のそれぞれの方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $A(3, -1)$ を通り、直線 $3x + 2y + 1 = 0$ に垂直な直線と平行な直線のそれぞれの方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた直線 $3x + 2y + 1 = 0$ の傾きを求めます。

直線の式を $y$ について解くと、

$2y = -3x - 1$

$y = -\frac{3}{2}x - \frac{1}{2}$

よって、与えられた直線の傾きは $-\frac{3}{2}$ です。

(2) 与えられた直線に平行な直線の傾きは、与えられた直線の傾きと等しくなります。

したがって、平行な直線の傾きは $-\frac{3}{2}$ です。

点 $A(3, -1)$ を通り、傾き $-\frac{3}{2}$ の直線の方程式は、

$y - (-1) = -\frac{3}{2}(x - 3)$

$y + 1 = -\frac{3}{2}x + \frac{9}{2}$

$2y + 2 = -3x + 9$

$3x + 2y - 7 = 0$

(3) 与えられた直線に垂直な直線の傾きは、与えられた直線の傾きの逆数の符号を反転させたものになります。

与えられた直線の傾きは $-\frac{3}{2}$ なので、垂直な直線の傾きは $\frac{2}{3}$ です。

点 $A(3, -1)$ を通り、傾き $\frac{2}{3}$ の直線の方程式は、

$y - (-1) = \frac{2}{3}(x - 3)$

$y + 1 = \frac{2}{3}x - 2$

$3y + 3 = 2x - 6$

$2x - 3y - 9 = 0$

3. 最終的な答え

与えられた直線に平行な直線の方程式は、$3x + 2y - 7 = 0$ です。

与えられた直線に垂直な直線の方程式は、$2x - 3y - 9 = 0$ です。