点 A(3, -1) を通り、直線 $3x + 2y + 1 = 0$ に垂直な直線と平行な直線のそれぞれの方程式を求める。

1. 問題の内容

点 A(3, -1) を通り、直線 $3x + 2y + 1 = 0$ に垂直な直線と平行な直線のそれぞれの方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $3x + 2y + 1 = 0$ の傾きを求める。

$3x + 2y + 1 = 0$ を $y$ について解くと、

$2y = -3x - 1$

$y = -\frac{3}{2}x - \frac{1}{2}$

したがって、この直線の傾きは $-\frac{3}{2}$ である。

(2) 直線 $3x + 2y + 1 = 0$ に垂直な直線の傾きを求める。

2つの直線が垂直であるとき、それらの傾きの積は -1 である。

求める直線の傾きを $m$ とすると、

$m \times (-\frac{3}{2}) = -1$

$m = \frac{2}{3}$

(3) 点 A(3, -1) を通り、傾きが $\frac{2}{3}$ の直線の方程式を求める。

点 (x1, y1) を通り、傾きが m の直線の方程式は $y - y1 = m(x - x1)$ である。

よって、求める直線の方程式は、

$y - (-1) = \frac{2}{3}(x - 3)$

$y + 1 = \frac{2}{3}x - 2$

$y = \frac{2}{3}x - 3$

両辺に3をかけて

$3y = 2x - 9$

$2x - 3y - 9 = 0$

(4) 直線 $3x + 2y + 1 = 0$ に平行な直線の傾きは $-\frac{3}{2}$ である。

点 A(3, -1) を通り、傾きが $-\frac{3}{2}$ の直線の方程式を求める。

$y - (-1) = -\frac{3}{2}(x - 3)$

$y + 1 = -\frac{3}{2}x + \frac{9}{2}$

$y = -\frac{3}{2}x + \frac{7}{2}$

両辺に2をかけて

$2y = -3x + 7$

$3x + 2y - 7 = 0$

3. 最終的な答え

直線 $3x + 2y + 1 = 0$ に垂直な直線の方程式は、$2x - 3y - 9 = 0$

直線 $3x + 2y + 1 = 0$ に平行な直線の方程式は、$3x + 2y - 7 = 0$