線分ABを直径とする半円があり、AB上にAC = 2a, CB = 2bとなる点Cがある。線分AC, CBをそれぞれ直径とする半円を描くとき、色のついた部分の面積を求める。

1. 問題の内容

線分ABを直径とする半円があり、AB上にAC = 2a, CB = 2bとなる点Cがある。線分AC, CBをそれぞれ直径とする半円を描くとき、色のついた部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

色のついた部分の面積は、大きい半円の面積から小さい2つの半円の面積を引くことで求められる。

まず、大きい半円の直径は$AC + CB = 2a + 2b$なので、半径は$a + b$である。したがって、大きい半円の面積は、

$\frac{1}{2} \pi (a+b)^2 = \frac{1}{2} \pi (a^2 + 2ab + b^2)$

次に、ACを直径とする半円の半径は$a$なので、面積は

$\frac{1}{2} \pi a^2$

CBを直径とする半円の半径は$b$なので、面積は

$\frac{1}{2} \pi b^2$

したがって、色のついた部分の面積は、

$\frac{1}{2} \pi (a^2 + 2ab + b^2) - \frac{1}{2} \pi a^2 - \frac{1}{2} \pi b^2 = \frac{1}{2} \pi (a^2 + 2ab + b^2 - a^2 - b^2) = \frac{1}{2} \pi (2ab) = \pi ab$

3. 最終的な答え

$\pi ab$