ベクトル $\vec{a} = (\sqrt{6} + \sqrt{2}, \sqrt{6} - \sqrt{2})$ と $\vec{b} = (1, 1)$ が与えられたとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (\sqrt{6} + \sqrt{2}, \sqrt{6} - \sqrt{2})$ と $\vec{b} = (1, 1)$ が与えられたとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

ベクトルの内積を利用して、なす角 $\theta$ を求めます。

内積の定義は以下の通りです。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$

まず、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ を計算します。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \times 1 + (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \times 1 = \sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{2} = 2\sqrt{6}$

次に、$|\vec{a}|$ を計算します。

$|\vec{a}| = \sqrt{(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 + (\sqrt{6} - \sqrt{2})^2} = \sqrt{(6 + 2\sqrt{12} + 2) + (6 - 2\sqrt{12} + 2)} = \sqrt{8 + 4\sqrt{3} + 8 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{16} = 4$

次に、$|\vec{b}|$ を計算します。

$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

内積の定義式に代入します。

$2\sqrt{6} = 4\sqrt{2} \cos{\theta}$

$\cos{\theta} = \frac{2\sqrt{6}}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、$\theta = \frac{\pi}{6}$ (ラジアン) または $\theta = 30^{\circ}$ です。

3. 最終的な答え

$\theta = 30^{\circ}$