3点A(3, 5), B(5, 2), C(1, 1)について、次のものを求める。 (1) 直線BCの方程式 (2) 点Aと直線BCの距離 (3) △ABCの面積

1. 問題の内容

3点A(3, 5), B(5, 2), C(1, 1)について、次のものを求める。

(1) 直線BCの方程式

(2) 点Aと直線BCの距離

(3) △ABCの面積

2. 解き方の手順

(1) 直線BCの方程式を求める。

点B(5, 2)と点C(1, 1)を通る直線の傾きは、

$m = \frac{1 - 2}{1 - 5} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$

よって、直線BCの方程式は、

$y - 1 = \frac{1}{4}(x - 1)$

$4(y - 1) = x - 1$

$4y - 4 = x - 1$

$x - 4y + 3 = 0$

(2) 点A(3, 5)と直線BC: $x - 4y + 3 = 0$ の距離を求める。

点と直線の距離の公式より、

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

$d = \frac{|1 \cdot 3 - 4 \cdot 5 + 3|}{\sqrt{1^2 + (-4)^2}}$

$d = \frac{|3 - 20 + 3|}{\sqrt{1 + 16}}$

$d = \frac{|-14|}{\sqrt{17}}$

$d = \frac{14}{\sqrt{17}}$

$d = \frac{14\sqrt{17}}{17}$

(3) △ABCの面積を求める。

まず、ベクトル$\vec{AB}$と$\vec{AC}$を求める。

$\vec{AB} = (5 - 3, 2 - 5) = (2, -3)$

$\vec{AC} = (1 - 3, 1 - 5) = (-2, -4)$

△ABCの面積Sは、

$S = \frac{1}{2} |2 \cdot (-4) - (-3) \cdot (-2)|$

$S = \frac{1}{2} |-8 - 6|$

$S = \frac{1}{2} |-14|$

$S = \frac{1}{2} \cdot 14$

$S = 7$

3. 最終的な答え

(1) 直線BCの方程式: $x - 4y + 3 = 0$

(2) 点Aと直線BCの距離: $\frac{14\sqrt{17}}{17}$

(3) △ABCの面積: 7