3点 $P_1(x_1, y_1)$, $P_2(x_2, y_2)$, $P_3(x_3, y_3)$ が一直線上にあるための必要十分条件が、以下の行列式で表されることを説明する問題です。 $$ \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0 $$

1. 問題の内容

3点 $P_1(x_1, y_1)$, $P_2(x_2, y_2)$, $P_3(x_3, y_3)$ が一直線上にあるための必要十分条件が、以下の行列式で表されることを説明する問題です。

$$$$

\begin{vmatrix}

x_1 & y_1 & 1 \\

x_2 & y_2 & 1 \\

x_3 & y_3 & 1

\end{vmatrix}

= 0

$$$$

2. 解き方の手順

3点 $P_1(x_1, y_1)$, $P_2(x_2, y_2)$, $P_3(x_3, y_3)$ が一直線上にあるとき、その直線の式を $ax + by + c = 0$ と置きます。

この直線が3点を通るので、以下の3つの式が成り立ちます。

$$$$

ax_1 + by_1 + c = 0 \\

ax_2 + by_2 + c = 0 \\

ax_3 + by_3 + c = 0

$$$$

これらの式は、$a, b, c$ を変数とする連立一次方程式と見なすことができます。

$a, b, c$ が自明な解（$a = b = c = 0$）以外の解を持つためには、係数行列の行列式が0であることが必要十分条件です。

したがって、

$$$$

\begin{vmatrix}

x_1 & y_1 & 1 \\

x_2 & y_2 & 1 \\

x_3 & y_3 & 1

\end{vmatrix}

= 0

$$$$

となります。

別の解法として、2点 $P_1(x_1, y_1)$ と $P_2(x_2, y_2)$ を通る直線の傾きと、2点 $P_2(x_2, y_2)$ と $P_3(x_3, y_3)$ を通る直線の傾きが等しいという条件から導くこともできます。

$P_1$ と $P_2$ を通る直線の傾きは $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ であり、$P_2$ と $P_3$ を通る直線の傾きは $\frac{y_3 - y_2}{x_3 - x_2}$ です。

したがって、

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\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{y_3 - y_2}{x_3 - x_2}

$$$$

が成り立ちます。これを変形すると、

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(y_2 - y_1)(x_3 - x_2) = (y_3 - y_2)(x_2 - x_1)

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$$$$

y_2x_3 - y_1x_3 - y_2x_2 + y_1x_2 = y_3x_2 - y_2x_2 - y_3x_1 + y_2x_1

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$$$$

y_2x_3 - y_1x_3 + y_1x_2 - y_3x_2 + y_3x_1 - y_2x_1 = 0

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これを整理すると、

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x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) = 0

$$$$

これは、行列式

$$$$

\begin{vmatrix}

x_1 & y_1 & 1 \\

x_2 & y_2 & 1 \\

x_3 & y_3 & 1

\end{vmatrix}

= x_1(y_2 - y_3) - y_1(x_2 - x_3) + (x_2y_3 - x_3y_2) = x_1y_2 - x_1y_3 - y_1x_2 + y_1x_3 + x_2y_3 - x_3y_2 = 0

$$$$

と一致します。

3. 最終的な答え

3点 $P_1(x_1, y_1)$, $P_2(x_2, y_2)$, $P_3(x_3, y_3)$ が一直線上にあるための必要十分条件は、

$$$$

\begin{vmatrix}

x_1 & y_1 & 1 \\

x_2 & y_2 & 1 \\

x_3 & y_3 & 1

\end{vmatrix}

= 0

$$$$

となるからです。