放物線 $y^2 = 4\sqrt{2}x$ と円 $x^2 + y^2 = 1$ の共通接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y^2 = 4\sqrt{2}x$ と円 $x^2 + y^2 = 1$ の共通接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、円 $x^2 + y^2 = 1$ の接線を $y = mx + n$ とおきます。

円の中心 $(0, 0)$ と直線 $mx - y + n = 0$ との距離が円の半径 $1$ に等しいことから、

$\frac{|m(0) - (0) + n|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 1$

$|n| = \sqrt{m^2 + 1}$

$n^2 = m^2 + 1$

次に、この接線が放物線 $y^2 = 4\sqrt{2}x$ にも接することから、$y^2 = 4\sqrt{2}x$ に $y = mx + n$ を代入して得られる $x$ の2次方程式が重解を持つ条件を考えます。

$(mx + n)^2 = 4\sqrt{2}x$

$m^2x^2 + 2mnx + n^2 = 4\sqrt{2}x$

$m^2x^2 + (2mn - 4\sqrt{2})x + n^2 = 0$

この2次方程式が重解を持つためには、判別式 $D = 0$ となる必要があります。

$D = (2mn - 4\sqrt{2})^2 - 4m^2n^2 = 0$

$4m^2n^2 - 16\sqrt{2}mn + 32 - 4m^2n^2 = 0$

$-16\sqrt{2}mn + 32 = 0$

$mn = \frac{32}{16\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

$n = \frac{\sqrt{2}}{m}$

これを $n^2 = m^2 + 1$ に代入すると、

$(\frac{\sqrt{2}}{m})^2 = m^2 + 1$

$\frac{2}{m^2} = m^2 + 1$

$2 = m^4 + m^2$

$m^4 + m^2 - 2 = 0$

$(m^2 + 2)(m^2 - 1) = 0$

$m^2 = -2$ または $m^2 = 1$

$m$ は実数なので、$m^2 = 1$ より $m = \pm 1$

$m = 1$ のとき、$n = \sqrt{2}$

$m = -1$ のとき、$n = -\sqrt{2}$

したがって、共通接線の方程式は $y = x + \sqrt{2}$ と $y = -x - \sqrt{2}$ です。

3. 最終的な答え

$y = x + \sqrt{2}$, $y = -x - \sqrt{2}$