3点 $P_1(x_1, y_1)$, $P_2(x_2, y_2)$, $P_3(x_3, y_3)$ が一直線上にあるための必要十分条件が、行列式 $\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0$ で表されることを説明する問題です。

1. 問題の内容

3点 $P_1(x_1, y_1)$, $P_2(x_2, y_2)$, $P_3(x_3, y_3)$ が一直線上にあるための必要十分条件が、行列式

$\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0$

で表されることを説明する問題です。

2. 解き方の手順

3点が一直線上にあるとは、それらの点が同一の直線の方程式を満たすということです。

直線の方程式は一般に $ax + by + c = 0$ と表されます。

$P_1, P_2, P_3$ がこの直線上にあると仮定すると、以下の方程式が成り立ちます。

$ax_1 + by_1 + c = 0$

$ax_2 + by_2 + c = 0$

$ax_3 + by_3 + c = 0$

これを $a, b, c$ に関する連立一次方程式とみなします。

この連立一次方程式が $a, b, c$ に関して自明でない解を持つための条件は、係数行列の行列式が0になることです。

つまり、

$\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0$

が成立します。

この行列式が0となるのは、3点が同一直線上にあるための必要十分条件です。

行列式の展開は次のようになります。

$x_1(y_2 - y_3) - y_1(x_2 - x_3) + (x_2y_3 - x_3y_2) = 0$

または

$x_1y_2 - x_1y_3 - x_2y_1 + x_3y_1 + x_2y_3 - x_3y_2 = 0$

別の解釈として、$P_1$, $P_2$, $P_3$ を頂点とする三角形の面積が0となる条件を考えることもできます。三角形の面積Sは、

$S = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$

と表されます。S = 0となるのは、$x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) = 0$ のときです。

この式は、行列式の展開

$\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = x_1(y_2 - y_3) - y_1(x_2 - x_3) + 1(x_2y_3 - x_3y_2) = x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)$

と等価です。したがって、行列式が0であることは、三角形の面積が0であること、すなわち3点が同一直線上にあることと同値です。

3. 最終的な答え

3点 $P_1(x_1, y_1)$, $P_2(x_2, y_2)$, $P_3(x_3, y_3)$ が一直線上にあるための必要十分条件は、行列式

$\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0$

である。

これは、$P_1, P_2, P_3$ を通る直線が存在するための必要十分条件、または $P_1, P_2, P_3$ を頂点とする三角形の面積がゼロであることと同値であるため。