円周上に2点を取り、一方の点から円の中心を通る直線と、もう一方の点とを結びます。円周角が$40^\circ$のとき、中心角$x$の大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

円周上に2点を取り、一方の点から円の中心を通る直線と、もう一方の点とを結びます。円周角が$40^\circ$のとき、中心角$x$の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた円周角に対する中心角を考えます。円周角の定理より、同一の弧に対する中心角は円周角の2倍です。したがって、円周角$40^\circ$に対応する中心角は$40^\circ \times 2 = 80^\circ$となります。

次に、円の中心から円周上の点までの距離は円の半径なので、円の中心から円周角$x$をなす2点までの距離は等しく、これら2点と円の中心で作られる三角形は二等辺三角形です。この二等辺三角形の頂角は$x$なので、底角はそれぞれ$\frac{180^\circ - x}{2}$です。

さらに、円の中心角が$80^\circ$であることから、中心角$x$と$80^\circ$は合わせて$180^\circ$を構成します。つまり、$x$は$80^\circ$の対頂角なので$x = 80^\circ$となります。

3. 最終的な答え

$x = 80^\circ$