半径1の円に内接する正 $n$ 角形について、以下の量を求める問題です。 - 1辺の長さ $d$ を $\theta_n = \frac{2\pi}{n}$ で表す。 - 面積 $S$ を $S(\theta_n)$ として表す。 - $\lim_{n \to \infty} S(\theta_n)$ を求める。

1. 問題の内容

半径1の円に内接する正 $n$ 角形について、以下の量を求める問題です。

- 1辺の長さ $d$ を $\theta_n = \frac{2\pi}{n}$ で表す。

- 面積 $S$ を $S(\theta_n)$ として表す。

- $\lim_{n \to \infty} S(\theta_n)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 正 $n$ 角形の1辺の長さ $d$ を $\theta_n$ で表す。

正 $n$ 角形の中心角は $\theta_n = \frac{2\pi}{n}$ です。

正 $n$ 角形の頂点から中心に線を引くと、二等辺三角形が $n$ 個できます。

この二等辺三角形の頂角は $\theta_n$ であり、等しい2辺の長さは半径1です。

1辺の長さ $d$ は、余弦定理より、

$d^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos{\theta_n} = 2 - 2\cos{\theta_n} = 2(1 - \cos{\theta_n})$

$d = \sqrt{2(1 - \cos{\theta_n})}$

半角の公式 $1 - \cos{x} = 2\sin^2{\frac{x}{2}}$ より、

$d = \sqrt{4\sin^2{\frac{\theta_n}{2}}} = 2\sin{\frac{\theta_n}{2}}$

(2) 面積 $S$ を $S(\theta_n)$ として表す。

正 $n$ 角形の面積 $S$ は、二等辺三角形の面積の $n$ 倍です。

二等辺三角形の面積は、$\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin{\theta_n} = \frac{1}{2} \sin{\theta_n}$ です。

したがって、$S(\theta_n) = n \cdot \frac{1}{2} \sin{\theta_n} = \frac{n}{2} \sin{\theta_n}$

$\theta_n = \frac{2\pi}{n}$ より、$n = \frac{2\pi}{\theta_n}$ なので、

$S(\theta_n) = \frac{2\pi}{2\theta_n} \sin{\theta_n} = \frac{\pi \sin{\theta_n}}{\theta_n}$

(3) $\lim_{n \to \infty} S(\theta_n)$ を求める。

$n \to \infty$ のとき、$\theta_n = \frac{2\pi}{n} \to 0$ です。

$\lim_{n \to \infty} S(\theta_n) = \lim_{\theta_n \to 0} \frac{\pi \sin{\theta_n}}{\theta_n} = \pi \lim_{\theta_n \to 0} \frac{\sin{\theta_n}}{\theta_n}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1$ より、

$\lim_{n \to \infty} S(\theta_n) = \pi \cdot 1 = \pi$

3. 最終的な答え

- $d = 2\sin{\frac{\theta_n}{2}}$

- $S(\theta_n) = \frac{\pi \sin{\theta_n}}{\theta_n}$

- $\lim_{n \to \infty} S(\theta_n) = \pi$