2点 $A(2, 3)$ と $B(-1, 4)$ を両端とする線分 $AB$ （両端を含む）が、直線 $y - ax + 1 = 0$ と交わるような $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

2点 $A(2, 3)$ と $B(-1, 4)$ を両端とする線分 $AB$ （両端を含む）が、直線 $y - ax + 1 = 0$ と交わるような $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

線分 $AB$ 上の点が直線 $y - ax + 1 = 0$ 上にあるということは、線分 $AB$ 上の点の座標 $(x, y)$ が $y - ax + 1 = 0$ を満たすということです。

$y = ax - 1$ と変形できます。

点 $A(2, 3)$ を通る場合、 $x = 2, y = 3$ を代入すると、

$3 = 2a - 1$

$2a = 4$

$a = 2$

点 $B(-1, 4)$ を通る場合、 $x = -1, y = 4$ を代入すると、

$4 = -a - 1$

$-a = 5$

$a = -5$

直線 $y = ax - 1$ が線分 $AB$ と交わる条件は、点 $A$ と点 $B$ が直線 $y = ax - 1$ に関して反対側に位置するか、または直線上に存在することです。

つまり、点 $A$ を代入した値と点 $B$ を代入した値の符号が異なるか、どちらかが0になる必要があります。

$f(x, y) = y - ax + 1$ とおくと、

$f(2, 3) = 3 - 2a + 1 = 4 - 2a$

$f(-1, 4) = 4 - a(-1) + 1 = 5 + a$

$(4 - 2a)(5 + a) \le 0$

$(2a - 4)(a + 5) \ge 0$

$2(a - 2)(a + 5) \ge 0$

$(a - 2)(a + 5) \ge 0$

よって、$a \le -5$ または $a \ge 2$

3. 最終的な答え

$a \le -5$ または $a \ge 2$