問題9から問題11までの数学の問題が出題されています。 * **問題9:** 次の条件を満たす円の方程式を求めます。 * (1) 中心が$(-4, 3)$で、$y$軸に接する円 * (2) 点$(-4, -5)$を中心とし、直線 $x - 2y = 1$ に接する円 * (3) $x$軸上に中心をもち、2点$(3, \sqrt{3})$, $(2, -2)$ を通る円 * (4) 直線 $y = 2x - 5$ 上に中心をもち、2点$(4, 6)$, $(-2, 2)$ を通る円 * **問題10:** 方程式 $3x^2 + 3y^2 - 2x - 3y + 1 = 0$ がどのような図形を表すかを答えます。 * **問題11:** 次の問いに答えます。 * (1) 3点$(-3, 5), (-2, 6), (4, -2)$ を通る円の方程式を求めます。 * (2) (1)の円が点$(5, a)$ を通るとき、$a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

問題9から問題11までの数学の問題が出題されています。

* **問題9:** 次の条件を満たす円の方程式を求めます。

* (1) 中心が$(-4, 3)$で、$y$軸に接する円

* (2) 点$(-4, -5)$を中心とし、直線 $x - 2y = 1$ に接する円

* (3) $x$軸上に中心をもち、2点$(3, \sqrt{3})$, $(2, -2)$ を通る円

* (4) 直線 $y = 2x - 5$ 上に中心をもち、2点$(4, 6)$, $(-2, 2)$ を通る円

* **問題10:** 方程式 $3x^2 + 3y^2 - 2x - 3y + 1 = 0$ がどのような図形を表すかを答えます。

* **問題11:** 次の問いに答えます。

* (1) 3点$(-3, 5), (-2, 6), (4, -2)$ を通る円の方程式を求めます。

* (2) (1)の円が点$(5, a)$ を通るとき、$a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

* **問題9(1):**

* 中心が$(-4, 3)$であるから、円の方程式は $(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = r^2$ と表せます。

* $y$軸に接するということは、円の中心から$y$軸までの距離が半径$r$に等しいということです。中心の$x$座標の絶対値が半径になるので、$r = |-4| = 4$です。

* したがって、円の方程式は $(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 4^2$となります。

* **問題9(2):**

* 中心が$(-4, -5)$であるから、円の方程式は $(x + 4)^2 + (y + 5)^2 = r^2$ と表せます。

* 直線 $x - 2y = 1$ に接するということは、円の中心から直線までの距離が半径$r$に等しいということです。点$(x_0, y_0)$と直線$ax + by + c = 0$の距離$d$は、$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$で求められます。

* この問題では、点$(-4, -5)$と直線 $x - 2y - 1 = 0$ の距離を求めます。

* $r = \frac{|1 \cdot (-4) - 2 \cdot (-5) - 1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|-4 + 10 - 1|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

* したがって、円の方程式は $(x + 4)^2 + (y + 5)^2 = (\sqrt{5})^2$となります。

* **問題9(3):**

* $x$軸上に中心があるので、中心の座標は$(a, 0)$と表せます。円の方程式は $(x - a)^2 + y^2 = r^2$ と表せます。

* 2点$(3, \sqrt{3})$と$(2, -2)$を通るので、それぞれの座標を代入すると次の2つの式が得られます。

$(3 - a)^2 + (\sqrt{3})^2 = r^2$

$(2 - a)^2 + (-2)^2 = r^2$

* これらの式を整理すると、

$(3 - a)^2 + 3 = r^2$

$(2 - a)^2 + 4 = r^2$

* $r^2$を消去するために、2つの式をイコールで結びます。

$(3 - a)^2 + 3 = (2 - a)^2 + 4$

$9 - 6a + a^2 + 3 = 4 - 4a + a^2 + 4$

$12 - 6a = 8 - 4a$

$4 = 2a$

$a = 2$

* $a = 2$ を $(2 - a)^2 + 4 = r^2$ に代入すると、

$(2 - 2)^2 + 4 = r^2$

$0 + 4 = r^2$

$r^2 = 4$

* したがって、円の方程式は $(x - 2)^2 + y^2 = 4$となります。

* **問題9(4):**

* 円の中心は直線 $y = 2x - 5$ 上にあるので、中心の座標は$(a, 2a - 5)$と表せます。円の方程式は $(x - a)^2 + (y - (2a - 5))^2 = r^2$ と表せます。

* 2点$(4, 6)$と$(-2, 2)$を通るので、それぞれの座標を代入すると次の2つの式が得られます。

$(4 - a)^2 + (6 - (2a - 5))^2 = r^2$

$(-2 - a)^2 + (2 - (2a - 5))^2 = r^2$

* これらの式を整理すると、

$(4 - a)^2 + (11 - 2a)^2 = r^2$

$(-2 - a)^2 + (7 - 2a)^2 = r^2$

* $r^2$を消去するために、2つの式をイコールで結びます。

$(4 - a)^2 + (11 - 2a)^2 = (-2 - a)^2 + (7 - 2a)^2$

$16 - 8a + a^2 + 121 - 44a + 4a^2 = 4 + 4a + a^2 + 49 - 28a + 4a^2$

$137 - 52a + 5a^2 = 53 - 24a + 5a^2$

$84 = 28a$

$a = 3$

* $a = 3$ を $(4 - a)^2 + (11 - 2a)^2 = r^2$ に代入すると、

$(4 - 3)^2 + (11 - 2 \cdot 3)^2 = r^2$

$1 + (11 - 6)^2 = r^2$

$1 + 25 = r^2$

$r^2 = 26$

* したがって、円の方程式は $(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 26$となります。

* **問題10:**

* 与えられた方程式は $3x^2 + 3y^2 - 2x - 3y + 1 = 0$ です。

* まず、$x^2$と$y^2$の係数を1にするために、方程式全体を3で割ります。

$x^2 + y^2 - \frac{2}{3}x - y + \frac{1}{3} = 0$

* 次に、平方完成を行います。

$(x - \frac{1}{3})^2 - (\frac{1}{3})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{3} = 0$

$(x - \frac{1}{3})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{9} + \frac{1}{4} - \frac{1}{3}$

$(x - \frac{1}{3})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{4 + 9 - 12}{36}$

$(x - \frac{1}{3})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{36}$

* この方程式は、中心 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$、半径 $\sqrt{\frac{1}{36}} = \frac{1}{6}$ の円を表します。

* **問題11(1):**

* 円の方程式を $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ とします。

* 3点$(-3, 5), (-2, 6), (4, -2)$ を通るので、それぞれの座標を代入すると次の3つの式が得られます。

$(-3)^2 + 5^2 - 3A + 5B + C = 0$

$(-2)^2 + 6^2 - 2A + 6B + C = 0$

$4^2 + (-2)^2 + 4A - 2B + C = 0$

* これらの式を整理すると、

$9 + 25 - 3A + 5B + C = 0 \Rightarrow -3A + 5B + C = -34$

$4 + 36 - 2A + 6B + C = 0 \Rightarrow -2A + 6B + C = -40$

$16 + 4 + 4A - 2B + C = 0 \Rightarrow 4A - 2B + C = -20$

* 3つの式を連立方程式として解きます。

* (2) - (1): $A + B = -6$

* (3) - (1): $7A - 7B = 14 \Rightarrow A - B = 2$

* 上記2式より、$2A = -4 \Rightarrow A = -2$。したがって、$B = -4$。

* $A = -2, B = -4$ を -3A + 5B + C = -34 に代入すると、

$-3(-2) + 5(-4) + C = -34$

$6 - 20 + C = -34$

$-14 + C = -34$

$C = -20$

* したがって、円の方程式は $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0$ となります。

* 平方完成すると、

$(x - 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 - 20 = 0$

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$

* **問題11(2):**

* (1)で求めた円の方程式は $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$ です。

* この円が点$(5, a)$ を通るので、座標を代入すると、

$(5 - 1)^2 + (a - 2)^2 = 25$

$4^2 + (a - 2)^2 = 25$

$16 + (a - 2)^2 = 25$

$(a - 2)^2 = 9$

$a - 2 = \pm 3$

$a = 2 \pm 3$

$a = 5, -1$

3. 最終的な答え

* **問題9(1):** $(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 16$

* **問題9(2):** $(x + 4)^2 + (y + 5)^2 = 5$

* **問題9(3):** $(x - 2)^2 + y^2 = 4$

* **問題9(4):** $(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 26$

* **問題10:** 中心$(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$、半径$\frac{1}{6}$の円

* **問題11(1):** $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$

* **問題11(2):** $a = 5, -1$