3点 $P_1(x_1, y_1)$, $P_2(x_2, y_2)$, $P_3(x_3, y_3)$ が一直線上にあるための必要十分条件が、行列式 $\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0$ となる理由を説明します。

1. 問題の内容

3点 $P_1(x_1, y_1)$, $P_2(x_2, y_2)$, $P_3(x_3, y_3)$ が一直線上にあるための必要十分条件が、行列式

$\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0$

となる理由を説明します。

2. 解き方の手順

3点が一直線上にあるための条件は、2点を通る直線上にもう1つの点が存在することです。

まず、$P_1(x_1, y_1)$と$P_2(x_2, y_2)$を通る直線の方程式を求めます。

直線の傾きは、

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

であり、直線の方程式は

$y - y_1 = m(x - x_1)$

と表せます。これを整理すると、

$y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$

$(y - y_1)(x_2 - x_1) = (y_2 - y_1)(x - x_1)$

$(y - y_1)(x_2 - x_1) - (y_2 - y_1)(x - x_1) = 0$

$y(x_2 - x_1) - y_1(x_2 - x_1) - y_2(x - x_1) + y_1(x - x_1) = 0$

$x(y_1 - y_2) + y(x_2 - x_1) + (x_1y_2 - x_2y_1) = 0$

この直線上に$P_3(x_3, y_3)$があるためには、$x$と$y$にそれぞれ$x_3$と$y_3$を代入したときに等式が成り立つ必要があります。

$x_3(y_1 - y_2) + y_3(x_2 - x_1) + (x_1y_2 - x_2y_1) = 0$

$x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) = 0$

この式を行列式で表すと、

$\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = x_1(y_2 - y_3) - y_1(x_2 - x_3) + (x_2y_3 - x_3y_2) = x_1y_2 - x_1y_3 - y_1x_2 + y_1x_3 + x_2y_3 - x_3y_2$

一方、$x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)$　を整理すると、

$x_1y_2 - x_1y_3 + x_2y_3 - x_2y_1 + x_3y_1 - x_3y_2$

これは上記で行列式を展開した結果と等しいです。

したがって、3点が一直線上にあるための必要十分条件は、行列式が0になることです。

3. 最終的な答え

3点 $P_1(x_1, y_1)$, $P_2(x_2, y_2)$, $P_3(x_3, y_3)$ が一直線上にあるための必要十分条件は、

$\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0$

である。