次の円の方程式を求めよ。 (1) 中心が点 $(2, 2)$ で、円 $x^2 + y^2 - 2y - 19 = 0$ と接する円 (2) 中心が点 $(-1, 7)$ で、円 $x^2 + y^2 - 8x + 10y + 16 = 0$ と接する円

1. 問題の内容

次の円の方程式を求めよ。

(1) 中心が点 $(2, 2)$ で、円 $x^2 + y^2 - 2y - 19 = 0$ と接する円

(2) 中心が点 $(-1, 7)$ で、円 $x^2 + y^2 - 8x + 10y + 16 = 0$ と接する円

2. 解き方の手順

(1) 中心が $(2, 2)$ で、円 $x^2 + y^2 - 2y - 19 = 0$ と接する円の方程式を求める。

まず、与えられた円の方程式を変形して、中心と半径を求める。

$x^2 + y^2 - 2y - 19 = 0$

$x^2 + (y - 1)^2 - 1 - 19 = 0$

$x^2 + (y - 1)^2 = 20$

この円の中心は $(0, 1)$、半径は $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ である。

求める円の中心は $(2, 2)$ であり、半径を $r$ とおく。

2つの円の中心間の距離 $d$ は、

$d = \sqrt{(2 - 0)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

2つの円が接するためには、$|r - 2\sqrt{5}| = \sqrt{5}$ または $r + 2\sqrt{5} = \sqrt{5}$ が成り立つ必要がある。

後者は $r$ が負の値になるので不適。

したがって、$|r - 2\sqrt{5}| = \sqrt{5}$。

$r - 2\sqrt{5} = \sqrt{5}$ または $r - 2\sqrt{5} = -\sqrt{5}$

$r = 3\sqrt{5}$ または $r = \sqrt{5}$

したがって、求める円の方程式は

$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = (3\sqrt{5})^2 = 45$ または $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$

すなわち、 $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 45$ または $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 5$

(2) 中心が $(-1, 7)$ で、円 $x^2 + y^2 - 8x + 10y + 16 = 0$ と接する円の方程式を求める。

まず、与えられた円の方程式を変形して、中心と半径を求める。

$x^2 - 8x + y^2 + 10y + 16 = 0$

$(x - 4)^2 - 16 + (y + 5)^2 - 25 + 16 = 0$

$(x - 4)^2 + (y + 5)^2 = 25$

この円の中心は $(4, -5)$、半径は $\sqrt{25} = 5$ である。

求める円の中心は $(-1, 7)$ であり、半径を $r$ とおく。

2つの円の中心間の距離 $d$ は、

$d = \sqrt{(-1 - 4)^2 + (7 - (-5))^2} = \sqrt{(-5)^2 + (12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$

2つの円が接するためには、$|r - 5| = 13$ または $r + 5 = 13$ が成り立つ必要がある。

$|r - 5| = 13$ より、 $r - 5 = 13$ または $r - 5 = -13$。

$r = 18$ または $r = -8$。$r$ は正なので、$r = 18$。

$r + 5 = 13$ より、$r=8$。

したがって、求める円の方程式は

$(x + 1)^2 + (y - 7)^2 = 18^2 = 324$ または $(x + 1)^2 + (y - 7)^2 = 8^2 = 64$

すなわち、 $(x + 1)^2 + (y - 7)^2 = 324$ または $(x + 1)^2 + (y - 7)^2 = 64$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 45$ または $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 5$

(2) $(x + 1)^2 + (y - 7)^2 = 324$ または $(x + 1)^2 + (y - 7)^2 = 64$