三角形OABにおいて、OA=1, OB=2, AB=$\sqrt{5}$である。辺ABを1:4に内分する点をCとする。$\vec{OA}=\vec{a}, \vec{OB}=\vec{b}$とする。$\vec{OC}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$で表し、$\vec{a}\cdot\vec{b}$の値を求め、$\vec{OC}\cdot\vec{AB}$の値を求め、$\angle OCA$を求める。また、三角形OABの外接円をKとし、Kの中心をD、半径をRとする。$\vec{OD}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$で表し、Rを求める。点Cを通り$\vec{a}$に平行な直線と円Kの交点のうち、点Aに近い方の点をEとする。このとき、正の実数tを用いて$\vec{CE}=t\vec{a}$と表されるから、$\vec{DE}$を$\vec{a}, \vec{b}, t$で表し、tの値を求める。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、OA=1, OB=2, AB=$\sqrt{5}$である。辺ABを1:4に内分する点をCとする。$\vec{OA}=\vec{a}, \vec{OB}=\vec{b}$とする。$\vec{OC}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$で表し、$\vec{a}\cdot\vec{b}$の値を求め、$\vec{OC}\cdot\vec{AB}$の値を求め、$\angle OCA$を求める。また、三角形OABの外接円をKとし、Kの中心をD、半径をRとする。$\vec{OD}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$で表し、Rを求める。点Cを通り$\vec{a}$に平行な直線と円Kの交点のうち、点Aに近い方の点をEとする。このとき、正の実数tを用いて$\vec{CE}=t\vec{a}$と表されるから、$\vec{DE}$を$\vec{a}, \vec{b}, t$で表し、tの値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{OC}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$で表す。

CはABを1:4に内分する点なので、

$\vec{OC} = \frac{4\vec{OA} + 1\vec{OB}}{1+4} = \frac{4}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}$

(2) $\vec{a}\cdot\vec{b}$の値を求める。

$|\vec{AB}|^2 = |\vec{b}-\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{a}|^2$

$(\sqrt{5})^2 = 2^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 1^2$

$5 = 4 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 1$

$2\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$

$\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$

(3) $\vec{OC}\cdot\vec{AB}$の値を求める。

$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$

$\vec{OC}\cdot\vec{AB} = (\frac{4}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b})\cdot(\vec{b} - \vec{a}) = \frac{4}{5}\vec{a}\cdot\vec{b} - \frac{4}{5}|\vec{a}|^2 + \frac{1}{5}|\vec{b}|^2 - \frac{1}{5}\vec{a}\cdot\vec{b}$

$= \frac{3}{5}\vec{a}\cdot\vec{b} - \frac{4}{5}|\vec{a}|^2 + \frac{1}{5}|\vec{b}|^2 = \frac{3}{5}(0) - \frac{4}{5}(1)^2 + \frac{1}{5}(2)^2 = -\frac{4}{5} + \frac{4}{5} = 0$

(4) $\angle OCA$を求める。

$\vec{OA}=\vec{a}, \vec{OC} = \frac{4}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}, |\vec{a}|=1, |\vec{b}|=2, \vec{a} \cdot \vec{b}=0$

$|\vec{OC}|^2 = (\frac{4}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}) \cdot (\frac{4}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}) = \frac{16}{25}|\vec{a}|^2 + \frac{8}{25}\vec{a}\cdot\vec{b} + \frac{1}{25}|\vec{b}|^2 = \frac{16}{25}(1) + \frac{8}{25}(0) + \frac{1}{25}(4) = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}$

$|\vec{OC}| = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

$\vec{CA} = \vec{OA} - \vec{OC} = \vec{a} - (\frac{4}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}) = \frac{1}{5}\vec{a} - \frac{1}{5}\vec{b}$

$|\vec{CA}|^2 = (\frac{1}{5}\vec{a} - \frac{1}{5}\vec{b}) \cdot (\frac{1}{5}\vec{a} - \frac{1}{5}\vec{b}) = \frac{1}{25}|\vec{a}|^2 - \frac{2}{25}\vec{a}\cdot\vec{b} + \frac{1}{25}|\vec{b}|^2 = \frac{1}{25}(1) - \frac{2}{25}(0) + \frac{1}{25}(4) = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$

$|\vec{CA}| = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$\vec{OC}\cdot\vec{CA} = (\frac{4}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}) \cdot (\frac{1}{5}\vec{a} - \frac{1}{5}\vec{b}) = \frac{4}{25}|\vec{a}|^2 - \frac{4}{25}\vec{a}\cdot\vec{b} + \frac{1}{25}\vec{a}\cdot\vec{b} - \frac{1}{25}|\vec{b}|^2 = \frac{4}{25}(1) - \frac{3}{25}(0) - \frac{1}{25}(4) = 0$

$\vec{OC}\cdot\vec{CA} = |\vec{OC}||\vec{CA}|\cos(\angle OCA) = 0$

$\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \cos(\angle OCA) = 0$

$\cos(\angle OCA) = 0$

$\angle OCA = 90^\circ$

(5) $\vec{OD}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$で表す。

円Kの中心DはOAとOBの垂直二等分線の交点にある。

$\vec{OD} = x\vec{a} + y\vec{b}$とすると

$|\vec{DA}|^2 = |\vec{DB}|^2$

$|\vec{a} - (x\vec{a} + y\vec{b})|^2 = |\vec{b} - (x\vec{a} + y\vec{b})|^2$

$|(1-x)\vec{a} - y\vec{b}|^2 = |-x\vec{a} + (1-y)\vec{b}|^2$

$(1-x)^2|\vec{a}|^2 - 2(1-x)y\vec{a}\cdot\vec{b} + y^2|\vec{b}|^2 = x^2|\vec{a}|^2 - 2x(1-y)\vec{a}\cdot\vec{b} + (1-y)^2|\vec{b}|^2$

$(1-x)^2(1) + y^2(4) = x^2(1) + (1-y)^2(4)$

$1 - 2x + x^2 + 4y^2 = x^2 + 4(1 - 2y + y^2)$

$1 - 2x = 4 - 8y$

$2x - 8y = -3$

また、ODはOAの中点を通る。

$\vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{a} + y\vec{b}$

$x = \frac{1}{2}$

$2(\frac{1}{2}) - 8y = -3$

$1 - 8y = -3$

$-8y = -4$

$y = \frac{1}{2}$

$\vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

(6) Rを求める。

$R = |\vec{OD} - \vec{OA}| = |\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}| = |-\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2|\vec{a}|^2 + 2(-\frac{1}{2})(\frac{1}{2})\vec{a}\cdot\vec{b} + (\frac{1}{2})^2|\vec{b}|^2}$

$= \sqrt{\frac{1}{4}(1) + 0 + \frac{1}{4}(4)} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

(7) $\vec{DE}$を$\vec{a}, \vec{b}, t$で表す。

$\vec{OC} = \frac{4}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}$

$\vec{CE} = t\vec{a}$

$\vec{OE} = \vec{OC} + \vec{CE} = \frac{4}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b} + t\vec{a} = (\frac{4}{5}+t)\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}$

$\vec{DE} = \vec{OE} - \vec{OD} = ((\frac{4}{5}+t)\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}) - (\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) = (\frac{4}{5} - \frac{1}{2} + t)\vec{a} + (\frac{1}{5} - \frac{1}{2})\vec{b} = (\frac{8-5}{10} + t)\vec{a} + (\frac{2-5}{10})\vec{b} = (\frac{3}{10} + t)\vec{a} - \frac{3}{10}\vec{b}$

(8) tの値を求める。

点Eは円K上にあるので、$|\vec{DE}| = R = \frac{\sqrt{5}}{2}$

$|\vec{DE}|^2 = (\frac{\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{5}{4}$

$(\frac{3}{10} + t)^2|\vec{a}|^2 - 2(\frac{3}{10} + t)(\frac{3}{10})\vec{a}\cdot\vec{b} + (-\frac{3}{10})^2|\vec{b}|^2 = \frac{5}{4}$

$(\frac{3}{10} + t)^2(1) + (\frac{9}{100})(4) = \frac{5}{4}$

$(\frac{3}{10} + t)^2 = \frac{5}{4} - \frac{36}{100} = \frac{125 - 36}{100} = \frac{89}{100}$

$\frac{3}{10} + t = \pm \frac{\sqrt{89}}{10}$

$t = \pm \frac{\sqrt{89}}{10} - \frac{3}{10} = \frac{\pm \sqrt{89} - 3}{10}$

$t > 0$なので、$t = \frac{\sqrt{89} - 3}{10}$

3. 最終的な答え

$\vec{OC} = \frac{4}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}$

$\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$

$\vec{OC}\cdot\vec{AB} = 0$

$\angle OCA = 90^\circ$

$\vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

$R = \frac{\sqrt{5}}{2}$

$\vec{DE} = (\frac{3}{10} + t)\vec{a} - \frac{3}{10}\vec{b}$

$t = \frac{\sqrt{89} - 3}{10}$