直線 $y = m(x-1) + 2$ と円 $x^2 + y^2 = 1$ が接するような定数 $m$ の値を求める。

わかりました。画像にある数学の問題を解きます。どの問題について解きましょうか？問題番号を指定してください。

例：13(1), 14, 16

指定がない場合、13(1)から順番に解きます。

**問題13(1)**

1. 問題の内容

直線 $y = m(x-1) + 2$ と円 $x^2 + y^2 = 1$ が接するような定数 $m$ の値を求める。

2. 解き方の手順

円と直線が接するということは、円の中心と直線との距離が円の半径に等しいということです。

まず、直線の式を変形します。

$y = mx - m + 2$

$mx - y - m + 2 = 0$

円の中心は $(0, 0)$ で、半径は $1$ です。

点 $(0, 0)$ と直線 $mx - y - m + 2 = 0$ との距離 $d$ は、点と直線の距離の公式より、

$d = \frac{|m(0) - (0) - m + 2|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|-m + 2|}{\sqrt{m^2 + 1}}$

円と直線が接するとき、$d = 1$ なので、

$\frac{|-m + 2|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 1$

両辺を2乗します。

$\frac{(-m + 2)^2}{m^2 + 1} = 1$

$(-m + 2)^2 = m^2 + 1$

$m^2 - 4m + 4 = m^2 + 1$

$-4m = -3$

$m = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$m = \frac{3}{4}$