与えられたベクトルに関する等式が成立することを示す問題です。 $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{AF}$

1. 問題の内容

与えられたベクトルに関する等式が成立することを示す問題です。

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{AF}$

2. 解き方の手順

左辺を変形して右辺になることを示します。

まず、$\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{EF}$ をそれぞれ分解します。

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DB} - \overrightarrow{DA}$

$\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{EC} - \overrightarrow{DE}$

$\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AE}$

これらを左辺に代入すると、

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{EF} = (\overrightarrow{DB} - \overrightarrow{DA}) + (\overrightarrow{EC} - \overrightarrow{DE}) + (\overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AE})$

$= \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{AF} - (\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{AE})$

ここで、ベクトル和 $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{DE}$ であるから、

$\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{0}$

ではなく、

$\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{DE}$

したがって、

$\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{AE}$ではない

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DA}$

$\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{EC}-\overrightarrow{ED}$

$\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}$

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{EF} = (\overrightarrow{DB} - \overrightarrow{DA}) + (\overrightarrow{EC} - \overrightarrow{ED}) + (\overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AE})$

$= \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{AF} - (\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{AE})$

$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{AF} - (\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{AE})=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{AF} + (\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{DE})$

$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DE}$

ベクトル $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{AF}$であることを示すので、移行して、

$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{EF} - \overrightarrow{AF} = 0$

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FA} = 0$

$\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EA} = 0$

$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AE}$

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{AF}$

$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC}-\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{EF}-\overrightarrow{AF}=0$

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FA} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DE} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{FA} = \overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EA} = 0$

$\overrightarrow{AA} = 0$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{AF}$