問題13から16について、それぞれ以下の内容を問われています。 (1) 直線 $y = m(x-1) + 2$ と円 $x^2 + y^2 = 1$ が接するような定数 $m$ の値を求める。 (2) 点 $(1, 2)$ を通り、円 $x^2 + y^2 = 1$ に接する直線の方程式を求める。 問題14：円 $x^2 + y^2 = 20$ に接し、直線 $2x + y = 10$ に垂直な直線の方程式を求める。 問題15：点 $A(4, 2)$ を中心とし、円 $x^2 + y^2 = 5$ に接する円の方程式を求める。 問題16：円 $x^2 + y^2 - 2kx - 6y + k^2 + 5 = 0$ が、円 $x^2 + y^2 = 49$ の内部にあるような定数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

問題13から16について、それぞれ以下の内容を問われています。

(1) 直線 $y = m(x-1) + 2$ と円 $x^2 + y^2 = 1$ が接するような定数 $m$ の値を求める。

(2) 点 $(1, 2)$ を通り、円 $x^2 + y^2 = 1$ に接する直線の方程式を求める。

問題14：円 $x^2 + y^2 = 20$ に接し、直線 $2x + y = 10$ に垂直な直線の方程式を求める。

問題15：点 $A(4, 2)$ を中心とし、円 $x^2 + y^2 = 5$ に接する円の方程式を求める。

問題16：円 $x^2 + y^2 - 2kx - 6y + k^2 + 5 = 0$ が、円 $x^2 + y^2 = 49$ の内部にあるような定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

問題13 (1):

直線 $y = m(x-1) + 2$ を $mx - y - m + 2 = 0$ と変形する。

円の中心 $(0, 0)$ と直線との距離が半径 $1$ に等しいことから、以下の式が成り立つ。

$\frac{|m(0) - (0) - m + 2|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 1$

$|-m + 2| = \sqrt{m^2 + 1}$

両辺を2乗して、$(m-2)^2 = m^2 + 1$

$m^2 - 4m + 4 = m^2 + 1$

$-4m = -3$

$m = \frac{3}{4}$

問題13 (2):

点 $(1, 2)$ は円 $x^2 + y^2 = 1$ の外部にあるので、接線は2本存在する。接線を $y - 2 = m(x - 1)$ とおくと、$y = mx - m + 2$.

円の中心 $(0, 0)$ と直線との距離が半径 $1$ に等しいことから、

$\frac{|m(0) - (0) - m + 2|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 1$

$|-m + 2| = \sqrt{m^2 + 1}$

$(m - 2)^2 = m^2 + 1$

$m^2 - 4m + 4 = m^2 + 1$

$-4m = -3$

$m = \frac{3}{4}$

接線の方程式は $y = \frac{3}{4}x - \frac{3}{4} + 2 = \frac{3}{4}x + \frac{5}{4}$.

$4y = 3x + 5$

$3x - 4y + 5 = 0$

点 $(1,2)$ を通る直線の中で、$x^2+y^2=1$に接するものはもう一本あり、それはx=1。

問題14:

直線 $2x + y = 10$ に垂直な直線の傾きは $\frac{1}{2}$ である。よって、求める直線の方程式を $y = \frac{1}{2}x + k$ とおく。これを $x - 2y + 2k = 0$ と変形する。円 $x^2 + y^2 = 20$ の中心 $(0, 0)$ と直線との距離が半径 $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ に等しいことから、

$\frac{|(0) - 2(0) + 2k|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = 2\sqrt{5}$

$\frac{|2k|}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$

$|2k| = 10$

$k = \pm 5$

したがって、直線の方程式は $y = \frac{1}{2}x \pm 5$.

$2y = x \pm 10$

$x - 2y \pm 10 = 0$

問題15:

円 $x^2 + y^2 = 5$ の中心は $(0, 0)$, 半径は $\sqrt{5}$ である。求める円の中心は $(4, 2)$ である。

2つの円が接する場合、2つの円の中心間の距離は、2つの円の半径の和または差に等しい。

2つの円が外接する場合、2つの円の中心間の距離は半径の和に等しい。2つの円の中心間の距離は $\sqrt{(4-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ である。

求める円の半径を $r$ とすると、$r + \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

$r = \sqrt{5}$. 求める円の方程式は $(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.

$(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 5$

$x^2 - 8x + 16 + y^2 - 4y + 4 = 5$

$x^2 + y^2 - 8x - 4y + 15 = 0$

2つの円が内接する場合、求める円の半径を $r$ とすると、$|r - \sqrt{5}| = 2\sqrt{5}$.

$r - \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$ または $r - \sqrt{5} = -2\sqrt{5}$.

$r = 3\sqrt{5}$ または $r = -\sqrt{5}$.

半径は正なので、$r = 3\sqrt{5}$ である。求める円の方程式は $(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = (3\sqrt{5})^2 = 45$.

$(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 45$

$x^2 - 8x + 16 + y^2 - 4y + 4 = 45$

$x^2 + y^2 - 8x - 4y - 25 = 0$

2つの円が接するということなので、二つの円の式は、

$(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 5$と

$(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 45$

問題16:

円の方程式 $x^2 + y^2 - 2kx - 6y + k^2 + 5 = 0$ を変形すると、 $(x - k)^2 + (y - 3)^2 = k^2 + 9 - k^2 - 5 = 4$.

これは中心 $(k, 3)$, 半径 $2$ の円である。

円 $x^2 + y^2 = 49$ は中心 $(0, 0)$, 半径 $7$ の円である。

円 $(x - k)^2 + (y - 3)^2 = 4$ が円 $x^2 + y^2 = 49$ の内部にあるためには、中心間の距離が半径の差より小さい必要がある。

$\sqrt{(k - 0)^2 + (3 - 0)^2} < 7 - 2$

$\sqrt{k^2 + 9} < 5$

$k^2 + 9 < 25$

$k^2 < 16$

$-4 < k < 4$

3. 最終的な答え

問題13 (1): $m = \frac{3}{4}$

問題13 (2): $3x - 4y + 5 = 0$, $x=1$

問題14: $x - 2y + 10 = 0$, $x - 2y - 10 = 0$

問題15: $(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 5$, $(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 45$

問題16: $-4 < k < 4$