3点 $A(-1, -2)$, $B(1, 2)$, $C(a, b)$ について、三角形ABCが正三角形になるときの $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

3点 $A(-1, -2)$, $B(1, 2)$, $C(a, b)$ について、三角形ABCが正三角形になるときの $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

正三角形の条件は、3辺の長さが等しいことです。

$AB = BC = CA$ が成り立つ必要があります。

まず、$AB$ の長さを計算します。

$AB = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

次に、$BC$ の長さを計算します。

$BC = \sqrt{(a - 1)^2 + (b - 2)^2}$

$CA$ の長さを計算します。

$CA = \sqrt{(-1 - a)^2 + (-2 - b)^2} = \sqrt{(a + 1)^2 + (b + 2)^2}$

$AB = BC = CA$ より、

$BC^2 = (2\sqrt{5})^2 = 20$

$CA^2 = (2\sqrt{5})^2 = 20$

したがって、

$(a - 1)^2 + (b - 2)^2 = 20$ ...(1)

$(a + 1)^2 + (b + 2)^2 = 20$ ...(2)

(2) - (1) より、

$(a + 1)^2 - (a - 1)^2 + (b + 2)^2 - (b - 2)^2 = 0$

$(a^2 + 2a + 1) - (a^2 - 2a + 1) + (b^2 + 4b + 4) - (b^2 - 4b + 4) = 0$

$4a + 8b = 0$

$a + 2b = 0$

$a = -2b$ ...(3)

(1) に (3) を代入すると、

$(-2b - 1)^2 + (b - 2)^2 = 20$

$(4b^2 + 4b + 1) + (b^2 - 4b + 4) = 20$

$5b^2 + 5 = 20$

$5b^2 = 15$

$b^2 = 3$

$b = \pm\sqrt{3}$

$b = \sqrt{3}$ のとき、 $a = -2\sqrt{3}$

$b = -\sqrt{3}$ のとき、 $a = 2\sqrt{3}$

$BC = CA = AB$ を満たすか確認します。

$C = (-2\sqrt{3}, \sqrt{3})$ のとき、

$BC = \sqrt{(-2\sqrt{3} - 1)^2 + (\sqrt{3} - 2)^2} = \sqrt{(12 + 4\sqrt{3} + 1) + (3 - 4\sqrt{3} + 4)} = \sqrt{12 + 1 + 3 + 4 + 4\sqrt{3} - 4\sqrt{3}} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

$CA = \sqrt{(-1 + 2\sqrt{3})^2 + (-2 - \sqrt{3})^2} = \sqrt{(1 - 4\sqrt{3} + 12) + (4 + 4\sqrt{3} + 3)} = \sqrt{1 + 12 + 4 + 3 - 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3}} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

よって、$a = -2\sqrt{3}, b = \sqrt{3}$ は条件を満たします。

$C = (2\sqrt{3}, -\sqrt{3})$ のとき、

$BC = \sqrt{(2\sqrt{3} - 1)^2 + (-\sqrt{3} - 2)^2} = \sqrt{(12 - 4\sqrt{3} + 1) + (3 + 4\sqrt{3} + 4)} = \sqrt{12 + 1 + 3 + 4 - 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3}} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

$CA = \sqrt{(-1 - 2\sqrt{3})^2 + (-2 + \sqrt{3})^2} = \sqrt{(1 + 4\sqrt{3} + 12) + (4 - 4\sqrt{3} + 3)} = \sqrt{1 + 12 + 4 + 3 + 4\sqrt{3} - 4\sqrt{3}} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

よって、$a = 2\sqrt{3}, b = -\sqrt{3}$ は条件を満たします。

3. 最終的な答え

$a = -2\sqrt{3}, b = \sqrt{3}$ または $a = 2\sqrt{3}, b = -\sqrt{3}$