直線 $3x - 2y - 6 = 0$ を $l$ とする。点 $A(-1, 2)$ と直線 $l$ に関して対称な点 $B$ の座標を求める。

1. 問題の内容

直線 $3x - 2y - 6 = 0$ を $l$ とする。点 $A(-1, 2)$ と直線 $l$ に関して対称な点 $B$ の座標を求める。

2. 解き方の手順

点 $B$ の座標を $(x, y)$ とおく。

$A$ と $B$ の中点 $M$ の座標は $\left( \frac{x-1}{2}, \frac{y+2}{2} \right)$ である。

$M$ は直線 $l$ 上にあるので、

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3\left( \frac{x-1}{2} \right) - 2\left( \frac{y+2}{2} \right) - 6 = 0

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これを整理すると、

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3(x-1) - 2(y+2) - 12 = 0

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3x - 3 - 2y - 4 - 12 = 0

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3x - 2y - 19 = 0 \quad \cdots (1)

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直線 $AB$ は直線 $l$ に垂直である。直線 $l$ の傾きは $\frac{3}{2}$ なので、直線 $AB$ の傾きは $-\frac{2}{3}$ である。

したがって、

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\frac{y - 2}{x - (-1)} = -\frac{2}{3}

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3(y-2) = -2(x+1)

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3y - 6 = -2x - 2

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2x + 3y - 4 = 0 \quad \cdots (2)

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(1)と(2)を連立させて解く。

(1) $\times$ 3 + (2) $\times$ 2 より、

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9x - 6y - 57 + 4x + 6y - 8 = 0

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13x - 65 = 0

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x = 5

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これを(2)に代入すると、

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2(5) + 3y - 4 = 0

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10 + 3y - 4 = 0

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3y = -6

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y = -2

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したがって、点 $B$ の座標は $(5, -2)$ である。

3. 最終的な答え

$(5, -2)$