直線 $l: 3x - 2y - 6 = 0$ に関して、点 $A(-1, 2)$ と対称な点 $B$ の座標を求める。

1. 問題の内容

直線 $l: 3x - 2y - 6 = 0$ に関して、点 $A(-1, 2)$ と対称な点 $B$ の座標を求める。

2. 解き方の手順

点 $B$ の座標を $(x, y)$ とします。

点 $A$ と点 $B$ の中点を $M$ とすると、点 $M$ は直線 $l$ 上にあり、線分 $AB$ は直線 $l$ と垂直に交わる。

まず、点 $A(-1, 2)$ と点 $B(x, y)$ の中点 $M$ の座標は

$M(\frac{x - 1}{2}, \frac{y + 2}{2})$

となる。

点 $M$ は直線 $l$ 上にあるので、直線 $l$ の式に点 $M$ の座標を代入すると、

$3(\frac{x - 1}{2}) - 2(\frac{y + 2}{2}) - 6 = 0$

$3(x - 1) - 2(y + 2) - 12 = 0$

$3x - 3 - 2y - 4 - 12 = 0$

$3x - 2y - 19 = 0$ ...(1)

次に、線分 $AB$ は直線 $l$ と垂直に交わるので、線分 $AB$ の傾きと直線 $l$ の傾きの積は $-1$ となる。

線分 $AB$ の傾きは $\frac{y - 2}{x + 1}$ であり、直線 $l$ の傾きは $\frac{3}{2}$ である。

よって、

$\frac{y - 2}{x + 1} \cdot \frac{3}{2} = -1$

$3(y - 2) = -2(x + 1)$

$3y - 6 = -2x - 2$

$2x + 3y - 4 = 0$ ...(2)

(1) と (2) の連立方程式を解く。

(1) $\times 2$: $6x - 4y - 38 = 0$

(2) $\times 3$: $6x + 9y - 12 = 0$

2式の差を計算すると、

$-13y - 26 = 0$

$-13y = 26$

$y = -2$

$y = -2$ を (2) に代入すると、

$2x + 3(-2) - 4 = 0$

$2x - 6 - 4 = 0$

$2x = 10$

$x = 5$

したがって、点 $B$ の座標は $(5, -2)$ である。

3. 最終的な答え

(5, -2)