直線 $y - ax + 1 = 0$ が、2点 $A(2,3)$ と $B(-1,4)$ を両端とする線分 $AB$ 上の点（両端を含む）を通るような、$a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $y - ax + 1 = 0$ が、2点 $A(2,3)$ と $B(-1,4)$ を両端とする線分 $AB$ 上の点（両端を含む）を通るような、$a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

直線の方程式を $y = ax - 1$ と変形する。

点 $A(2,3)$ が直線上にあるとき、

$3 = 2a - 1$

$2a = 4$

$a = 2$

点 $B(-1,4)$ が直線上にあるとき、

$4 = -a - 1$

$-a = 5$

$a = -5$

直線が線分 $AB$ 上の点を通る条件は、点 $A$ と点 $B$ が直線に関して反対側にあるか、または線上にあることである。これは、点 $A$ と点 $B$ の座標を直線の方程式 $ax - y - 1 = 0$ に代入した値の符号が異なるか、少なくとも一方が $0$ であることで表される。

$f(x,y) = ax - y - 1$ とおくと、

$f(2,3) = 2a - 3 - 1 = 2a - 4$

$f(-1,4) = -a - 4 - 1 = -a - 5$

線分 $AB$ 上の点を通る条件は $f(2,3) \times f(-1,4) \leq 0$ であるから、

$(2a - 4)(-a - 5) \leq 0$

$(a - 2)(a + 5) \geq 0$

したがって、$a \leq -5$ または $a \geq 2$ である。

3. 最終的な答え

$a \leq -5$ または $a \geq 2$