平面上に2点A(-1,3), B(5,11)がある。 (1) 直線 $y=2x$ について、点Aと対称な点Pの座標を求めよ。 (2) 点Qが直線 $y=2x$ 上にあるとき、$QA+QB$ を最小にする点Qの座標を求めよ。

1. 問題の内容

平面上に2点A(-1,3), B(5,11)がある。

(1) 直線 $y=2x$ について、点Aと対称な点Pの座標を求めよ。

(2) 点Qが直線 $y=2x$ 上にあるとき、$QA+QB$ を最小にする点Qの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Aと直線 $y=2x$ に関して対称な点Pの座標を求める。

点Pの座標を $(a,b)$ とおく。

直線APの中点Mは直線 $y=2x$ 上にある。

Mの座標は $(\frac{-1+a}{2}, \frac{3+b}{2})$。

Mが直線 $y=2x$ 上にあるので、

$\frac{3+b}{2} = 2(\frac{-1+a}{2})$

$3+b = -2+2a$

$b = 2a - 5$　...(1)

直線APと直線 $y=2x$ は垂直に交わる。

直線APの傾きは $\frac{b-3}{a-(-1)} = \frac{b-3}{a+1}$

直線 $y=2x$ の傾きは2。

$\frac{b-3}{a+1} \times 2 = -1$

$2(b-3) = -(a+1)$

$2b - 6 = -a - 1$

$2b = -a + 5$　...(2)

(1)を(2)に代入する。

$2(2a-5) = -a+5$

$4a-10 = -a+5$

$5a = 15$

$a = 3$

(1)より

$b = 2(3)-5 = 6-5 = 1$

したがって、点Pの座標は $(3,1)$。

(2) 点Qが直線 $y=2x$ 上にあるとき、$QA+QB$ を最小にする点Qの座標を求める。

点Aの直線 $y=2x$ に関する対称点をPとする。(1)よりP(3,1)。

$QA = QP$ より、$QA + QB = QP + QB$

$QP + QB$ が最小となるのは、点P,Q,Bが一直線上にあるときである。

直線PBの方程式を求める。

傾きは $\frac{11-1}{5-3} = \frac{10}{2} = 5$

$y-1 = 5(x-3)$

$y = 5x - 15 + 1$

$y = 5x - 14$

点Qは直線 $y=2x$ 上にあるので、

$2x = 5x - 14$

$3x = 14$

$x = \frac{14}{3}$

$y = 2x = 2(\frac{14}{3}) = \frac{28}{3}$

したがって、点Qの座標は $(\frac{14}{3}, \frac{28}{3})$。

3. 最終的な答え

(1) 点Pの座標は $(3,1)$

(2) 点Qの座標は $(\frac{14}{3}, \frac{28}{3})$