座標平面上に点 $A(0,5)$ を中心とし、$x$軸に接する円 $K$ がある。また、円 $K$ は直線 $l: y = 7x + 5k$ と異なる2点 $B, C$ で交わっている。ただし、$k$ は定数である。 (1) 円 $K$ の方程式を求めよ。 (2) $k$ の値の範囲を求めよ。 (3) $k > 0$ とする。2点 $B, C$ においてそれぞれ円 $K$ の接線を引き、この2本の接線の交点を $D$ とする。四角形 $ABDC$ が正方形となるとき、$k$ の値を求めよ。また、このとき、点 $D$ の座標を求めよ。

## 回答

1. 問題の内容

座標平面上に点 $A(0,5)$ を中心とし、$x$軸に接する円 $K$ がある。また、円 $K$ は直線 $l: y = 7x + 5k$ と異なる2点 $B, C$ で交わっている。ただし、$k$ は定数である。

(1) 円 $K$ の方程式を求めよ。

(2) $k$ の値の範囲を求めよ。

(3) $k > 0$ とする。2点 $B, C$ においてそれぞれ円 $K$ の接線を引き、この2本の接線の交点を $D$ とする。四角形 $ABDC$ が正方形となるとき、$k$ の値を求めよ。また、このとき、点 $D$ の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円 $K$ の方程式

円 $K$ は点 $A(0, 5)$ を中心とし、$x$軸に接するので、半径は $5$ である。したがって、円 $K$ の方程式は、

$x^2 + (y - 5)^2 = 5^2$

$x^2 + (y - 5)^2 = 25$

(2) $k$ の値の範囲

円 $K$ と直線 $l: y = 7x + 5k$ が異なる2点で交わる条件を考える。円 $K$ の中心 $A(0, 5)$ と直線 $l$ の距離 $d$ が、円 $K$ の半径 $5$ より小さければよい。

直線 $l$ を $7x - y + 5k = 0$ と変形し、$A(0, 5)$ と直線 $l$ の距離 $d$ を求める。

$d = \frac{|7(0) - 5 + 5k|}{\sqrt{7^2 + (-1)^2}} = \frac{|5k - 5|}{\sqrt{50}} = \frac{|5k - 5|}{5\sqrt{2}} = \frac{|k - 1|}{\sqrt{2}}$

$d < 5$ より、

$\frac{|k - 1|}{\sqrt{2}} < 5$

$|k - 1| < 5\sqrt{2}$

$-5\sqrt{2} < k - 1 < 5\sqrt{2}$

$1 - 5\sqrt{2} < k < 1 + 5\sqrt{2}$

(3) $k > 0$ のとき、四角形 $ABDC$ が正方形となる条件

$ABDC$ が正方形であるとき、$\angle BAC = 90^{\circ}$ である。

直線 $AB$ と直線 $AC$ は直交するので、円の中心 $A$ と直線 $l$ の距離は、円の半径を $\sqrt{2}$ で割った値に等しくなる。

すなわち、$d = \frac{5}{\sqrt{2}}$

$\frac{|k - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$

$|k - 1| = 5$

$k - 1 = 5$ または $k - 1 = -5$

$k = 6$ または $k = -4$

$k > 0$ より、$k = 6$

直線 $l$ の方程式は $y = 7x + 30$

点 $A(0, 5)$ から直線 $y = 7x + 30$ に下ろした垂線の方程式は $y = -\frac{1}{7}x + 5$

$7x + 30 = -\frac{1}{7}x + 5$

$49x + 210 = -x + 35$

$50x = -175$

$x = -\frac{7}{2}$

$y = -\frac{1}{7}(-\frac{7}{2}) + 5 = \frac{1}{2} + 5 = \frac{11}{2}$

直線 $AD$ の中点が $(-\frac{7}{2}, \frac{11}{2})$ であるから、$D(x, y)$ とすると、

$\frac{x + 0}{2} = -\frac{7}{2}$, $\frac{y + 5}{2} = \frac{11}{2}$

$x = -7$, $y = 6$

したがって、点 $D$ の座標は $(-7, 6)$

3. 最終的な答え

(1) 円 $K$ の方程式：$x^2 + (y - 5)^2 = 25$

(2) $k$ の値の範囲：$1 - 5\sqrt{2} < k < 1 + 5\sqrt{2}$

(3) $k$ の値：$k = 6$

　点 $D$ の座標：$(-7, 6)$