平行四辺形OABCにおいて、辺BCを2:1に内分する点をD、対角線ACを3:1に内分する点をEとする。このとき、3点O, D, Eが一直線上にあることを証明する。

1. 問題の内容

平行四辺形OABCにおいて、辺BCを2:1に内分する点をD、対角線ACを3:1に内分する点をEとする。このとき、3点O, D, Eが一直線上にあることを証明する。

2. 解き方の手順

$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OC} = \vec{c}$とおく。

平行四辺形の性質より、$\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{OC} = \vec{a} + \vec{c}$である。

点Dは辺BCを2:1に内分するので、

$\vec{OD} = \frac{1 \cdot \vec{OB} + 2 \cdot \vec{OC}}{2+1} = \frac{\vec{OB} + 2\vec{OC}}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{c} + 2\vec{c}}{3} = \frac{\vec{a} + 3\vec{c}}{3} = \frac{1}{3}\vec{a} + \vec{c}$.

点Eは対角線ACを3:1に内分するので、

$\vec{OE} = \frac{1 \cdot \vec{OA} + 3 \cdot \vec{OC}}{3+1} = \frac{\vec{a} + 3\vec{c}}{4} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{c}$.

ここで、$\vec{OD} = k \vec{OE}$となるような実数kが存在すれば、3点O, D, Eは一直線上にある。

$\vec{OD} = \frac{1}{3}\vec{a} + \vec{c} = k (\frac{1}{4}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{c}) = \frac{k}{4}\vec{a} + \frac{3k}{4}\vec{c}$

$\vec{a}$と$\vec{c}$は一次独立なので、

$\frac{1}{3} = \frac{k}{4}$

$1 = \frac{3k}{4}$

という連立方程式が成り立つ。

両方の式から$k = \frac{4}{3}$が得られる。

したがって、$\vec{OD} = \frac{4}{3}\vec{OE}$であるから、3点O, D, Eは一直線上にある。

3. 最終的な答え

3点O, D, Eは一直線上にある。