円と直線の共有点の個数を求める問題です。具体的には、以下の2つの問題があります。 (1) 円 $x^2 + y^2 = 8$ と直線 $y = x + 4$ の共有点の個数を求めます。 (2) 円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = -x + 1$ の共有点の個数を求めます。

1. 問題の内容

円と直線の共有点の個数を求める問題です。具体的には、以下の2つの問題があります。

(1) 円 $x^2 + y^2 = 8$ と直線 $y = x + 4$ の共有点の個数を求めます。

(2) 円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = -x + 1$ の共有点の個数を求めます。

2. 解き方の手順

円と直線の共有点の個数を求めるには、直線の方程式を円の方程式に代入してできる二次方程式の判別式を調べます。

(1) $y = x + 4$ を $x^2 + y^2 = 8$ に代入します。

$x^2 + (x + 4)^2 = 8$

$x^2 + x^2 + 8x + 16 = 8$

$2x^2 + 8x + 8 = 0$

$x^2 + 4x + 4 = 0$

判別式 $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$

判別式が0なので、共有点は1個です。

(2) $y = -x + 1$ を $x^2 + y^2 = 4$ に代入します。

$x^2 + (-x + 1)^2 = 4$

$x^2 + x^2 - 2x + 1 = 4$

$2x^2 - 2x - 3 = 0$

判別式 $D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 4 + 24 = 28$

判別式が正なので、共有点は2個です。

3. 最終的な答え

(1) 1個

(2) 2個