空間ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ が与えられたとき、以下の4つの等式が常に成り立つかどうかを判定し、成り立つ場合は〇、そうでない場合は×を選択する問題です。 (1) $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a}$ (2) $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{c} \cdot \vec{a})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$ (3) $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{c} \cdot \vec{a})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$ (4) $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a}) + \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{0}$

1. 問題の内容

空間ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ が与えられたとき、以下の4つの等式が常に成り立つかどうかを判定し、成り立つ場合は〇、そうでない場合は×を選択する問題です。

(1) $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a}$

(2) $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{c} \cdot \vec{a})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$

(3) $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{c} \cdot \vec{a})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$

(4) $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a}) + \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{0}$

2. 解き方の手順

(1) スカラー三重積の性質より、$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a}$ は常に成り立ちます。 これはスカラー三重積の巡回置換における不変性を示しています。

(2) ベクトル三重積の公式より、$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$ が成り立ちます。 与えられた式$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{c} \cdot \vec{a})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$も同じです。

(3) ベクトル三重積の公式より、$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$ が成り立ちます。

与えられた式$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{c} \cdot \vec{a})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$ と比較すると、一致しません。

例えば $\vec{a} = (1,0,0), \vec{b} = (0,1,0), \vec{c} = (0,0,1)$ のとき、

$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (1,0,0) \times ( (0,1,0) \times (0,0,1)) = (1,0,0) \times (1,0,0) = (0,0,0)$

$(\vec{c} \cdot \vec{a})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} = (0)(0,1,0) - (0)(1,0,0) = (0,0,0)$　

ですが，$(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$　を正しく適用すれば

$(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = (0)(0,1,0) - (0)(0,0,1) = (0,0,0)$

したがって常に成り立つわけではありません。$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$ が正しく、問題文は誤りです。

(4) ベクトル三重積の公式より、

$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$

$\vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a}) = (\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{c} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$

$\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{c} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{c} \cdot \vec{a})\vec{b}$

これらの和を計算すると、$(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} + (\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{c} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} + (\vec{c} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{c} \cdot \vec{a})\vec{b} = \vec{0}$ となり、常に成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1)

1. 〇

(2)

1. 〇

(3)

2. ×

(4)

1. 〇