正四面体の3つの頂点A(0, 1, -2), B(2, 3, -2), C(0, 3, 0)が与えられたとき、第4の頂点Dの座標を求める問題です。

1. 問題の内容

正四面体の3つの頂点A(0, 1, -2), B(2, 3, -2), C(0, 3, 0)が与えられたとき、第4の頂点Dの座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

Dの座標を(x, y, z)とします。正四面体の辺の長さはすべて等しいので、以下の関係式が成り立ちます。

$AD^2 = BD^2 = CD^2 = AB^2 = BC^2 = CA^2$

まず、AB, BC, CAの長さを計算します。

$AB^2 = (2-0)^2 + (3-1)^2 + (-2-(-2))^2 = 4 + 4 + 0 = 8$

$BC^2 = (0-2)^2 + (3-3)^2 + (0-(-2))^2 = 4 + 0 + 4 = 8$

$CA^2 = (0-0)^2 + (1-3)^2 + (-2-0)^2 = 0 + 4 + 4 = 8$

したがって、正四面体の各辺の長さの二乗は8です。

次に、AD, BD, CDの長さを計算し、それぞれ二乗します。

$AD^2 = (x-0)^2 + (y-1)^2 + (z-(-2))^2 = x^2 + (y-1)^2 + (z+2)^2 = 8$

$BD^2 = (x-2)^2 + (y-3)^2 + (z-(-2))^2 = (x-2)^2 + (y-3)^2 + (z+2)^2 = 8$

$CD^2 = (x-0)^2 + (y-3)^2 + (z-0)^2 = x^2 + (y-3)^2 + z^2 = 8$

これらの式から、x, y, zを求めます。

まず、$AD^2 = CD^2$より

$x^2 + (y-1)^2 + (z+2)^2 = x^2 + (y-3)^2 + z^2$

$(y-1)^2 + (z+2)^2 = (y-3)^2 + z^2$

$y^2 - 2y + 1 + z^2 + 4z + 4 = y^2 - 6y + 9 + z^2$

$-2y + 1 + 4z + 4 = -6y + 9$

$4y + 4z = 4$

$y + z = 1$

$z = 1 - y$

次に、$AD^2 = BD^2$より

$x^2 + (y-1)^2 + (z+2)^2 = (x-2)^2 + (y-3)^2 + (z+2)^2$

$x^2 + (y-1)^2 = (x-2)^2 + (y-3)^2$

$x^2 + y^2 - 2y + 1 = x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9$

$-2y + 1 = -4x + 4 - 6y + 9$

$4x + 4y = 12$

$x + y = 3$

$x = 3 - y$

$CD^2 = 8$に、$x = 3 - y$と$z = 1 - y$を代入します。

$(3-y)^2 + (y-3)^2 + (1-y)^2 = 8$

$9 - 6y + y^2 + y^2 - 6y + 9 + 1 - 2y + y^2 = 8$

$3y^2 - 14y + 19 = 8$

$3y^2 - 14y + 11 = 0$

$(3y - 11)(y - 1) = 0$

したがって、$y = 11/3$または$y = 1$。

(1) $y = 1$のとき、$x = 3 - 1 = 2$, $z = 1 - 1 = 0$

よって、D(2, 1, 0)

(2) $y = 11/3$のとき、$x = 3 - 11/3 = -2/3$, $z = 1 - 11/3 = -8/3$

よって、D(-2/3, 11/3, -8/3)

頂点Dの座標は(2, 1, 0)または(-2/3, 11/3, -8/3)

3. 最終的な答え

D (2, 1, 0) or D (-2/3, 11/3, -8/3)