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平行六面体ABCD-EFGHにおいて、$\vec{AB} = \vec{a}, \vec{AD} = \vec{b}, \vec{AE} = \vec{c}$とする。 (1) 次のベクトルを$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表せ。 (ア) $\vec{BH}$ (イ) $\vec{CE}$ (ウ) $\vec{FD}$ (エ) $\vec{GA}$ (2) 線分EGと線分FHの交点をPとするとき、$\vec{AP}, \vec{PC}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表せ。

幾何学ベクトル空間ベクトル平行六面体
2025/6/27

1. 問題の内容

平行六面体ABCD-EFGHにおいて、AB⃗=a⃗,AD⃗=b⃗,AE⃗=c⃗\vec{AB} = \vec{a}, \vec{AD} = \vec{b}, \vec{AE} = \vec{c}とする。
(1) 次のベクトルをa⃗,b⃗,c⃗\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}を用いて表せ。
(ア) BH⃗\vec{BH}
(イ) CE⃗\vec{CE}
(ウ) FD⃗\vec{FD}
(エ) GA⃗\vec{GA}
(2) 線分EGと線分FHの交点をPとするとき、AP⃗,PC⃗\vec{AP}, \vec{PC}をa⃗,b⃗,c⃗\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1)
(ア) BH⃗\vec{BH}
BH⃗=BA⃗+AD⃗+DH⃗=−a⃗+b⃗+c⃗\vec{BH} = \vec{BA} + \vec{AD} + \vec{DH} = -\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}
(イ) CE⃗\vec{CE}
CE⃗=CA⃗+AE⃗=−(a⃗+b⃗)+c⃗=−a⃗−b⃗+c⃗\vec{CE} = \vec{CA} + \vec{AE} = -(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = -\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}
(ウ) FD⃗\vec{FD}
FD⃗=−EF⃗=−AB⃗=−a⃗\vec{FD} = -\vec{EF} = - \vec{AB} = -\vec{a}
(エ) GA⃗\vec{GA}
GA⃗=−AG⃗=−(a⃗+b⃗+c⃗)=−a⃗−b⃗−c⃗\vec{GA} = -\vec{AG} = -(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = -\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}
(2)
点Pは線分EGと線分FHの交点なので、EGの中点かつFHの中点である。
AP⃗=12(AE⃗+AG⃗)=12(c⃗+a⃗+b⃗+c⃗)=12(a⃗+b⃗+2c⃗)=12a⃗+12b⃗+c⃗\vec{AP} = \frac{1}{2}(\vec{AE} + \vec{AG}) = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}) = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{c}
または、
AP⃗=12(AH⃗+AF⃗)=12(AB⃗+AD⃗+AE⃗+AB⃗+AE⃗)=12(a⃗+b⃗+c⃗+a⃗+c⃗)=12(2a⃗+b⃗+2c⃗)=a⃗+12b⃗+12c⃗\vec{AP} = \frac{1}{2}(\vec{AH} + \vec{AF}) = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AE} + \vec{AB} + \vec{AE}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{a} + \vec{c}) = \frac{1}{2}(2\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}) = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}
AP⃗=12(a⃗+b⃗+2c⃗)=12a⃗+12b⃗+c⃗\vec{AP} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c}) = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{c}
AC⃗=a⃗+b⃗\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}
AP⃗=12a⃗+12b⃗+c⃗\vec{AP} = \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}
PC⃗=AC⃗−AP⃗=a⃗+b⃗−(12a⃗+12b⃗+c⃗)=12a⃗+12b⃗−c⃗\vec{PC} = \vec{AC} - \vec{AP} = \vec{a} + \vec{b} - (\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}

3. 最終的な答え

(1)
(ア) BH⃗=−a⃗+b⃗+c⃗\vec{BH} = -\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}
(イ) CE⃗=−a⃗−b⃗+c⃗\vec{CE} = -\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}
(ウ) FD⃗=−a⃗\vec{FD} = -\vec{a}
(エ) GA⃗=−a⃗−b⃗−c⃗\vec{GA} = -\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}
(2)
AP⃗=12a⃗+12b⃗+c⃗\vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{c}
PC⃗=12a⃗+12b⃗−c⃗\vec{PC} = \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}

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