$xy$平面上に点$O(0,0)$, $A(1,0)$, $B(0,\sqrt{3})$, $C(-1,0)$がある。線分$AB$を$t:1-t$に内分する点を$P$, 線分$BC$を$t:1-t$に内分する点を$Q$とする。ただし、$0<t<1$であり、$\theta = \angle POQ$とする。$T = t(1-t)$とするとき、以下の問いに答える。 (1) $\cos \theta$を$T$で表せ。 (2) $t$が$0<t<1$を動くとき、$\theta$の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$xy$平面上に点$O(0,0)$, $A(1,0)$, $B(0,\sqrt{3})$, $C(-1,0)$がある。線分$AB$を$t:1-t$に内分する点を$P$, 線分$BC$を$t:1-t$に内分する点を$Q$とする。ただし、$0<t<1$であり、$\theta = \angle POQ$とする。$T = t(1-t)$とするとき、以下の問いに答える。

(1) $\cos \theta$を$T$で表せ。

(2) $t$が$0<t<1$を動くとき、$\theta$の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点$P$, $Q$の座標を求める。

$P$は線分$AB$を$t:1-t$に内分するので、

$P = (1-t)O + tA = (1-t)(0,0) + t(1,0) = (t,0)$

$Q$は線分$BC$を$t:1-t$に内分するので、

$Q = (1-t)B + tC = (1-t)(0,\sqrt{3}) + t(-1,0) = (-t, (1-t)\sqrt{3})$

$\vec{OP} = (t, 0)$

$\vec{OQ} = (-t, (1-t)\sqrt{3})$

内積$\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = |\vec{OP}| |\vec{OQ}| \cos \theta$より

$\cos \theta = \frac{\vec{OP} \cdot \vec{OQ}}{|\vec{OP}| |\vec{OQ}|}$

$\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = (t, 0) \cdot (-t, (1-t)\sqrt{3}) = -t^2$

$|\vec{OP}| = \sqrt{t^2 + 0^2} = t$

$|\vec{OQ}| = \sqrt{(-t)^2 + ((1-t)\sqrt{3})^2} = \sqrt{t^2 + 3(1-2t+t^2)} = \sqrt{4t^2 - 6t + 3}$

$\cos \theta = \frac{-t^2}{t \sqrt{4t^2 - 6t + 3}} = \frac{-t}{\sqrt{4t^2 - 6t + 3}}$

$T = t(1-t)$ より、 $t^2 - t + T = 0$

$t^2 = t - T$

$\cos \theta = \frac{-t}{\sqrt{4(t-T) - 6t + 3}} = \frac{-t}{\sqrt{4t - 4T - 6t + 3}} = \frac{-t}{\sqrt{-2t - 4T + 3}}$

$\cos^2 \theta = \frac{t^2}{-2t - 4T + 3} = \frac{t-T}{-2t - 4T + 3}$

$(t-T)(-2t - 4T + 3)^{-1} = \cos^2 \theta$

(1)のやり方ではうまくいかない。

$\cos \theta = \frac{-t}{\sqrt{4t^2 - 6t + 3}} = \frac{-t}{\sqrt{4t(1-t) - 2t + 3}} = \frac{-t}{\sqrt{4T - 2t + 3}}$

ここで、$T=t(1-t)$より、$t^2 - t + T = 0$

$t = \frac{1 \pm \sqrt{1-4T}}{2}$

$0 < t < 1$より、

$\cos \theta = \frac{-\frac{1 \pm \sqrt{1-4T}}{2}}{\sqrt{4T - 2(\frac{1 \pm \sqrt{1-4T}}{2}) + 3}} = \frac{-1 \mp \sqrt{1-4T}}{2\sqrt{4T - 1 \mp \sqrt{1-4T} + 3}} = \frac{-1 \mp \sqrt{1-4T}}{2\sqrt{4T + 2 \mp \sqrt{1-4T}}}$

$\frac{d}{dt}(\cos \theta)=0$を求める

$\cos\theta = \frac{-t}{\sqrt{4t^2 - 6t + 3}}$

$\cos^2\theta = \frac{t^2}{4t^2 - 6t + 3}$

$\frac{d}{dt}(\cos^2\theta) = \frac{2t(4t^2-6t+3) - t^2(8t-6)}{(4t^2-6t+3)^2} = \frac{8t^3 - 12t^2 + 6t - 8t^3 + 6t^2}{(4t^2-6t+3)^2} = \frac{-6t^2 + 6t}{(4t^2-6t+3)^2} = \frac{6t(1-t)}{(4t^2-6t+3)^2}$

$t = \frac{1}{2}$のとき$\cos^2\theta$は最大になる。

$\cos\theta$の最大は$\theta$の最小に対応する。

$t = \frac{1}{2}$を代入すると、

$\cos\theta = \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{4(\frac{1}{4}) - 6(\frac{1}{2}) + 3}} = \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{1 - 3 + 3}} = \frac{-\frac{1}{2}}{1} = -\frac{1}{2}$

$\theta = \frac{2}{3}\pi$

(2) $T = t(1-t)$

$\cos \theta = \frac{-t}{\sqrt{4t^2 - 6t + 3}} = \frac{-t}{\sqrt{4t^2 - 6t + \frac{9}{4} + \frac{3}{4}}} = \frac{-t}{\sqrt{(2t - \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4}}}$

$t = \frac{3}{4}$で$\cos \theta$が最大になる。

この時、$t = \frac{3}{4}$は$0 < t < 1$を満たす。

$T = t(1-t) = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{16}$

$t = \frac{3}{4}$の時、$\cos \theta = \frac{-\frac{3}{4}}{\sqrt{(2(\frac{3}{4}) - \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4}}} = \frac{-\frac{3}{4}}{\sqrt{0 + \frac{3}{4}}} = \frac{-\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{-3}{2\sqrt{3}} = \frac{-\sqrt{3}}{2}$

$\theta = \frac{5\pi}{6}$

(1) $\cos \theta = \frac{-t}{\sqrt{4t^2 - 6t + 3}}$

$T = t(1-t)$なので、$4t^2 - 6t + 3 = 4t(1-t) - 2t + 3 = 4T - 2t + 3$

したがって、$\cos \theta = \frac{-t}{\sqrt{4T - 2t + 3}}$

$4T - 2t + 3 = 0$とすると、$T = \frac{2t-3}{4}$

$T = t(1-t) = t - t^2$

$t - t^2 = \frac{2t - 3}{4}$

$4t - 4t^2 = 2t - 3$

$4t^2 - 2t - 3 = 0$

$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 48}}{8} = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{4}$

(1) $\cos \theta = \frac{4T-3}{1-4T}$

(2) $\theta = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \theta = 1 - \frac{3}{4T+3}$

(2) $\theta = \frac{\pi}{3}$