幅 $a$ mの道があるトラックの面積 $S$ m$^2$ が、$S = al$ となることを証明する問題です。ここで、$l$ は道の真ん中を通る線の長さです。空欄のア、イ、ウに適切な式を答える必要があります。

1. 問題の内容

幅 $a$ mの道があるトラックの面積 $S$ m$^2$ が、$S = al$ となることを証明する問題です。ここで、$l$ は道の真ん中を通る線の長さです。空欄のア、イ、ウに適切な式を答える必要があります。

2. 解き方の手順

まず、トラックの面積 $S$ を求めます。

トラックは、外側の大きな半円の半径が $3+a$ m、内側の小さい半円の半径が $3$ m、直線部分の長さが $10$ m であることを利用します。

道の面積 $S$ は、外側のトラック全体の面積から内側のトラックの面積を引くことで求められます。

外側のトラック全体の面積は、

$2 \times 10 \times a + \pi (3+a)^2 - \pi (3)^2$

$= 20a + \pi(9 + 6a + a^2) - 9\pi$

$= 20a + \pi (a^2 + 6a)$

$= a(20 + a\pi + 6\pi)$

したがって、アには $a(20+a\pi+6\pi)$ が入ります。

次に、道の真ん中を通る線の長さ $l$ を求めます。

道の真ん中を通る線の半径は $3 + a/2$ m となります。

半円部分の長さは $\pi (3+a/2)$ mであり、それが2つあるので合計で $2 \pi (3+a/2) = 6\pi + a\pi$ mとなります。

直線部分の長さは $10$ mであり、それが2つあるので合計で $20$ mとなります。

したがって、$l = 6\pi + a\pi + 20$ mとなります。

よって、イには $3 + a/2$ が入り、ウには $6\pi + a\pi + 20$ が入ります。

最後に、求めた $l$ に $a$ をかけて $al$ を計算します。

$al = a(6\pi + a\pi + 20) = a(20 + a\pi + 6\pi)$

したがって、アには $a(20+a\pi+6\pi)$ が入ります。

3. 最終的な答え

ア: $a(20 + a\pi + 6\pi)$

イ: $3 + \frac{a}{2}$

ウ: $20 + (6+a)\pi$