点A(-3, -1)から円 $x^2 + y^2 = 5$ に引いた接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

点A(-3, -1)から円 $x^2 + y^2 = 5$ に引いた接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

ステップ1: 接点の座標を仮定する

接点の座標を $(x_1, y_1)$ とします。この点は円 $x^2 + y^2 = 5$ 上にあるので、

$x_1^2 + y_1^2 = 5$

が成り立ちます。

ステップ2: 接線の方程式を求める

円 $x^2 + y^2 = 5$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は、

$x_1x + y_1y = 5$

となります。

ステップ3: 点Aを通る条件を適用する

接線が点A(-3, -1)を通るので、この座標を接線の方程式に代入すると、

$-3x_1 - y_1 = 5$

これを変形して、

$y_1 = -3x_1 - 5$

ステップ4: 連立方程式を解く

ステップ1とステップ3で得られた2つの式から、 $x_1$ と $y_1$ を求めます。

$x_1^2 + y_1^2 = 5$ と $y_1 = -3x_1 - 5$ より、

$x_1^2 + (-3x_1 - 5)^2 = 5$

$x_1^2 + 9x_1^2 + 30x_1 + 25 = 5$

$10x_1^2 + 30x_1 + 20 = 0$

$x_1^2 + 3x_1 + 2 = 0$

$(x_1 + 1)(x_1 + 2) = 0$

したがって、$x_1 = -1, -2$ となります。

* $x_1 = -1$ のとき、$y_1 = -3(-1) - 5 = 3 - 5 = -2$

* $x_1 = -2$ のとき、$y_1 = -3(-2) - 5 = 6 - 5 = 1$

よって、接点の座標は (-1, -2) と (-2, 1) です。

ステップ5: 接線の方程式を求める

それぞれの接点に対する接線の方程式は、

* 接点 (-1, -2) のとき: $-x - 2y = 5$ つまり $x + 2y + 5 = 0$

* 接点 (-2, 1) のとき: $-2x + y = 5$ つまり $2x - y + 5 = 0$

3. 最終的な答え

接線の方程式は $x + 2y + 5 = 0$ と $2x - y + 5 = 0$ です。

接点の座標は (-1, -2) と (-2, 1) です。