放物線 $y=x^2$ と $y=2x^2$ 上に長方形ABCDの頂点がある。点Bのx座標を$t$としたとき、長方形ABCDが正方形となるような$t$の値を求める。ただし、$t>0$とする。

1. 問題の内容

放物線 $y=x^2$ と $y=2x^2$ 上に長方形ABCDの頂点がある。点Bのx座標を$t$としたとき、長方形ABCDが正方形となるような$t$の値を求める。ただし、$t>0$とする。

2. 解き方の手順

まず、各点の座標を$t$を用いて表す。

点Bは$y=2x^2$上にあるので、Bの座標は$(t, 2t^2)$となる。

点Cは点Bとy座標が同じで、$y=x^2$上にあるので、$x^2 = 2t^2$より、$x = \sqrt{2}t$となる。

したがって、点Cの座標は$(\sqrt{2}t, 2t^2)$となる。

点Aは$y=x^2$上にあるので、Aの座標は$(t, t^2)$となる。

点Dは点Aとx座標が同じで、$y=2x^2$上にあるので、Dの座標は$(t, 2t^2)$となる。

長方形ABCDが正方形なので、AB = BCとなる。

ABの長さは、$2t^2 - t^2 = t^2$である。

BCの長さは、$\sqrt{2}t - t = (\sqrt{2}-1)t$である。

したがって、$t^2 = (\sqrt{2}-1)t$となる。

$t>0$より、$t = \sqrt{2} - 1$となる。

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}-1$