三角形ABCにおいて、正弦定理を用いて以下の値を求めます。 (1) BC=2, AB=$2\sqrt{2}$, C=135°のとき、角Aの大きさを求めます。 (2) AC=12, A=120°, C=15°のとき、辺BCの長さを求め、さらに三角形ABCの外接円の半径Rを求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、正弦定理を用いて以下の値を求めます。

(1) BC=2, AB=$2\sqrt{2}$, C=135°のとき、角Aの大きさを求めます。

(2) AC=12, A=120°, C=15°のとき、辺BCの長さを求め、さらに三角形ABCの外接円の半径Rを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$

$\frac{2}{\sin A} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin 135^\circ}$

$\sin A = \frac{2 \sin 135^\circ}{2\sqrt{2}} = \frac{\sin 135^\circ}{\sqrt{2}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

$0^\circ < A < 180^\circ$なので、$A = 30^\circ$または$A = 150^\circ$。

しかし、$A + C = A + 135^\circ < 180^\circ$より、$A < 45^\circ$。

したがって、$A = 30^\circ$

(2) $A+B+C = 180^\circ$より、$B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 120^\circ - 15^\circ = 45^\circ$

正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$

$\frac{BC}{\sin 120^\circ} = \frac{12}{\sin 45^\circ}$

$BC = \frac{12 \sin 120^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{12 \sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{6}$

また、外接円の半径Rについて、

$2R = \frac{AC}{\sin B}$

$2R = \frac{12}{\sin 45^\circ} = \frac{12}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 12\sqrt{2}$

$R = 6\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $A = 30^\circ$

(2) $BC = 6\sqrt{6}$

$R = 6\sqrt{2}$