三角形ABCがあり、各頂点の位置ベクトルがそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$で与えられています。辺BCを2:1に内分する点をD、辺CAを2:1に内分する点をE、辺ABを2:1に内分する点をFとします。これらの点D, E, Fの位置ベクトル$\vec{d}, \vec{e}, \vec{f}$を、それぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表してください。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、各頂点の位置ベクトルがそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$で与えられています。辺BCを2:1に内分する点をD、辺CAを2:1に内分する点をE、辺ABを2:1に内分する点をFとします。これらの点D, E, Fの位置ベクトル$\vec{d}, \vec{e}, \vec{f}$を、それぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表してください。

2. 解き方の手順

内分点の位置ベクトルは、以下の公式で求められます。

線分PQをm:nに内分する点の位置ベクトルを$\vec{r}$とすると、

$\vec{r} = \frac{n\vec{p} + m\vec{q}}{m+n}$

* 点Dは辺BCを2:1に内分するので、

$\vec{d} = \frac{1\vec{b} + 2\vec{c}}{2+1} = \frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3}$

* 点Eは辺CAを2:1に内分するので、

$\vec{e} = \frac{1\vec{c} + 2\vec{a}}{2+1} = \frac{2\vec{a} + \vec{c}}{3}$

* 点Fは辺ABを2:1に内分するので、

$\vec{f} = \frac{1\vec{a} + 2\vec{b}}{2+1} = \frac{\vec{a} + 2\vec{b}}{3}$

3. 最終的な答え

$\vec{d} = \frac{\vec{b} + 2\vec{c}}{3}$

$\vec{e} = \frac{2\vec{a} + \vec{c}}{3}$

$\vec{f} = \frac{\vec{a} + 2\vec{b}}{3}$