3点 A(1, 1), B(7, 3), C(3, a) を頂点とする三角形 ABC が ∠C=90° の直角三角形であるとき、定数 a の値を求める問題です。

1. 問題の内容

3点 A(1, 1), B(7, 3), C(3, a) を頂点とする三角形 ABC が ∠C=90° の直角三角形であるとき、定数 a の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、∠C=90°の直角三角形であることから、三平方の定理が成り立つことに注目します。

選択肢の中から正しいものを選択します。

ア. $AB^2 + BC^2 = CA^2$

イ. $BC^2 + CA^2 = AB^2$

ウ. $CA^2 + AB^2 = BC^2$

∠C=90°なので、$CA^2 + CB^2 = AB^2$が成り立ちます。

したがって、I に当てはまる式はイです。

次に、$AB^2$, $BC^2$, $CA^2$を求めます。

$AB^2 = (7-1)^2 + (3-1)^2 = 6^2 + 2^2 = 36 + 4 = 40$

$BC^2 = (3-7)^2 + (a-3)^2 = (-4)^2 + (a-3)^2 = 16 + a^2 - 6a + 9 = a^2 - 6a + 25$

$CA^2 = (3-1)^2 + (a-1)^2 = 2^2 + (a-1)^2 = 4 + a^2 - 2a + 1 = a^2 - 2a + 5$

$BC^2 + CA^2 = AB^2$に代入します。

$(a^2 - 6a + 25) + (a^2 - 2a + 5) = 40$

$2a^2 - 8a + 30 = 40$

$2a^2 - 8a - 10 = 0$

$a^2 - 4a - 5 = 0$

$(a - 5)(a + 1) = 0$

$a = 5, -1$

3. 最終的な答え

I : イ

① : 40

② : $a^2 - 6a + 25$

③ : $a^2 - 2a + 5$

④ : 5

⑤ : -1