xy平面上に点O(0, 0), A(1, 0), B(0, √3), C(-1, 0)がある。0 < t < 1とし、線分ABをt:(1-t)に内分する点をP、線分BCをt:(1-t)に内分する点をQとする。θ=∠POQとする。 (1) T=t(1-t)とするとき、cosθをTで表せ。 (2) tが0<t<1を動くとき、θの最小値を求めよ。

1. 問題の内容

xy平面上に点O(0, 0), A(1, 0), B(0, √3), C(-1, 0)がある。0 < t < 1とし、線分ABをt:(1-t)に内分する点をP、線分BCをt:(1-t)に内分する点をQとする。θ=∠POQとする。

(1) T=t(1-t)とするとき、cosθをTで表せ。

(2) tが0<t<1を動くとき、θの最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず点Pと点Qの座標を求める。

Pは線分ABをt:(1-t)に内分するので、

$P = (1-t)O + tA = (1-t)(0, 0) + t(1, 0) = (t, 0)$

Qは線分BCをt:(1-t)に内分するので、

$Q = (1-t)B + tC = (1-t)(0, \sqrt{3}) + t(-1, 0) = (-t, (1-t)\sqrt{3})$

次にベクトルOPとベクトルOQを求める。

$\vec{OP} = P - O = (t, 0) - (0, 0) = (t, 0)$

$\vec{OQ} = Q - O = (-t, (1-t)\sqrt{3}) - (0, 0) = (-t, (1-t)\sqrt{3})$

cosθは内積を使って求めることができる。

$cosθ = \frac{\vec{OP} \cdot \vec{OQ}}{|\vec{OP}| |\vec{OQ}|} = \frac{(t, 0) \cdot (-t, (1-t)\sqrt{3})}{\sqrt{t^2 + 0^2} \sqrt{(-t)^2 + ((1-t)\sqrt{3})^2}} = \frac{-t^2}{t \sqrt{t^2 + 3(1-2t+t^2)}} = \frac{-t^2}{t \sqrt{4t^2 - 6t + 3}} = \frac{-t}{\sqrt{4t^2 - 6t + 3}}$

$T = t(1-t) = t - t^2$より$t^2 = t - T$なので、

$cosθ = \frac{-t}{\sqrt{4(t-T) - 6t + 3}} = \frac{-t}{\sqrt{4t - 4T - 6t + 3}} = \frac{-t}{\sqrt{-2t - 4T + 3}}$

$T=t(1-t)$より、$t^2 - t + T = 0$。この2次方程式を解くと、

$t = \frac{1 \pm \sqrt{1-4T}}{2}$。$0<t<1$であるから、

$t = \frac{1 \pm \sqrt{1-4T}}{2}$

$cosθ = \frac{-t}{\sqrt{-2t - 4T + 3}} = \frac{-t}{\sqrt{-2t + 3 - 4T}} = \frac{-t}{\sqrt{-2t + 3 - 4t(1-t)/t}} = \frac{-t}{\sqrt{4t^2-6t+3}}$

ここで、$4t^2-6t+3 = 4(t^2 - t) -2t + 3 = 4(t-T) -2t+3 = 2t +3 -4T$

$t = \frac{1 \pm \sqrt{1-4T}}{2}$なので、

$cos\theta = \frac{-\frac{1 \pm \sqrt{1-4T}}{2}}{\sqrt{4(\frac{1 \pm \sqrt{1-4T}}{2})^2 - 6(\frac{1 \pm \sqrt{1-4T}}{2}) + 3}} = \frac{-1}{2\sqrt{4T-1}}$

$cos θ = \frac{-t}{\sqrt{4t^2 - 6t + 3}} = \frac{-t}{\sqrt{4t^2-4t+1-2t+2}} = \frac{-t}{\sqrt{(2t-1)^2-2t+2}}$.

$t = \frac{1 \pm \sqrt{1-4T}}{2}$を代入して計算してもよい。

しかし、 $t = \frac{1}{2}$のとき、$4t^2 - 6t + 3 = 1 - 3 + 3 = 1$となり、cosθ = -1/2となることを利用して解く。

$4t^2-6t+3 = aT+b$とおくと、$T=t(1-t)$であるから、$t=\frac{1}{2}$のとき$T=\frac{1}{4}$であり、$a/4+b=1$。$4t^2-6t+3 = 4(t^2-t)-2t+3 = -4T-2t+3$

なので、$t=\frac{1}{2}$とすると、$-4(\frac{1}{4})-2(\frac{1}{2})+3=1-1+3 =1$ となり、$-\frac{1}{\sqrt{1}} = -1$

$4t^2-6t+3=k$.

$cos^2(\theta) = \frac{t^2}{4t^2-6t+3} = \frac{t^2}{4t^2-6t+3}$

この最小値を求める

$T = t(1-t) = t - t^2$

$cos θ = \frac{2T-1}{1-4T}$

(2) θの最小値を求める。0 < t < 1のとき、T = t(1-t) = t - t^2の最大値はt = 1/2のときT = 1/4。したがって、0 < T <= 1/4。

cosθ = -t/√(4t^2 - 6t + 3)より、$cos \theta = \frac{-t}{\sqrt{4(t-T)-6t+3}} = \frac{-t}{\sqrt{-2t+3-4T}}$

$\theta$の最小値を求めるためには、$cos\theta$の最大値を求める必要がある。

$cos \theta = \frac{2T-1}{1-4T}$より、Tが小さいほどcosθは大きくなるので、T = 0のときが最大。

しかし、T > 0なので、T -> 0のときを考える。このときcosθ -> -1なので、θ -> π

$\theta$は0<θ<πの範囲なのでθが最小になるのは$cos\theta$が最大になる時。

$T=\frac{1}{4}$の時、$cosθ=-\frac{1}{2}$. θ= $\frac{2\pi}{3}$ (120度)となる.

$T=t(1-t)$なので、これを$t$について解くと、$t=\frac{1\pm \sqrt{1-4T}}{2}$. よって、 $cosθ = \frac{-t}{\sqrt{4t^2-6t+3}} = \frac{-1}{\sqrt{4(1-4T)-6(1-4T)/t + 3}} = \frac{-1}{2\sqrt{4T-1}}$

3. 最終的な答え

(1) $cos \theta = 1-4T$

(2) $\frac{2\pi}{3}$