幅 $a$ mの道が、直線部分の長さが10 m、半円部分の半径が3 mのトラックの周りにある。道の面積を $S$ m$^2$、道の真ん中を通る線の長さを $l$ mとするとき、$S = al$ となることを証明する。

1. 問題の内容

幅 $a$ mの道が、直線部分の長さが10 m、半円部分の半径が3 mのトラックの周りにある。道の面積を $S$ m$^2$、道の真ん中を通る線の長さを $l$ mとするとき、$S = al$ となることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、$S$ を計算する。道の面積は、外側のトラックの面積から内側のトラックの面積を引いたものである。外側のトラックの半円の半径は $3+a$ mである。

外側のトラックの面積は、

$2(10 \times a + 3a + a^2 / 4 \times \pi)$

半円部分の面積は $\pi (3+a)^2 = \pi (9 + 6a + a^2)$

内側のトラックの面積は、半径 3 m の半円と長さ 10 m の直線からなる。

内側のトラックの面積は、半円部分 $\pi (3)^2 = 9 \pi$ と直線部分 $2 \times 10 \times 3 = 60$ の和である。

道の面積 $S$ は外側の面積から内側の面積を引いたものなので、

$S = 2 \times 10a + \pi (3+a)^2 - \pi (3)^2 = 20a + \pi (9 + 6a + a^2) - 9\pi = 20a + 6\pi a + \pi a^2$

$S = a(20 + 6\pi + \pi a)$

次に、$l$ を計算する。道の真ん中を通る線の長さ $l$ は、半径 $3+a/2$ の円の周の長さと、直線部分の合計である。直線部分は $10$ mが2つあるので $20$ mである。

$l = 2\pi(3 + \frac{a}{2}) + 2 \times 10 = 6\pi + a\pi + 20$

したがって、$al$ は

$al = a(6\pi + a\pi + 20) = a(6\pi + 20) + \pi a^2$

$S = a(20 + 6\pi + \pi a)$ と $al = a(6\pi + 20) + \pi a^2$ より、$S=al$ である。

道の面積 $S$ を計算すると、$S = \pi(3+a)^2 + 2(10+a)(a) - \pi 3^2 = \pi(9 + 6a + a^2) - 9\pi + 20a = 6\pi a + \pi a^2 + 20a$

道の真ん中を通る線の長さ $l$ は、$l = 2(10) + 2\pi (3 + \frac{a}{2}) = 20 + 6\pi + a\pi$

3. 最終的な答え

ア： $a(6\pi + 20 + a\pi)$

イ： $3 + \frac{a}{2}$

ウ： $20 + 6\pi + a\pi$