直線部分が10m、半円部分の半径が3mのトラックの周りに幅$a$mの道がある。道の面積を$S$m$^2$、道の真ん中を通る線の長さを$l$mとする時、$S = al$となることを証明する。

1. 問題の内容

直線部分が10m、半円部分の半径が3mのトラックの周りに幅$a$mの道がある。道の面積を$S$m$^2$、道の真ん中を通る線の長さを$l$mとする時、$S = al$となることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、道の面積$S$を計算する。

道の面積は、外側のトラック全体の面積から内側のトラック全体の面積を引いたものである。

外側のトラックは、半径$3+a$mの半円2つと、長さ10mの直線部分2つからなる。

内側のトラックは、半径3mの半円2つと、長さ10mの直線部分2つからなる。

外側のトラック全体の面積は、

$2 \times \frac{1}{2} \pi (3+a)^2 + 2 \times 10(3+a) = \pi(9+6a+a^2) + 60 + 20a = \pi(9+6a+a^2) + 60 + 20a$

内側のトラック全体の面積は、

$2 \times \frac{1}{2} \pi (3)^2 + 2 \times 10(3) = 9\pi + 60$

よって、道の面積$S$は、

$S = (\pi(9+6a+a^2) + 60 + 20a) - (9\pi + 60) = 6a\pi + a^2\pi + 20a = a(6\pi + a\pi + 20)$

次に、道の真ん中を通る線の長さ$l$を計算する。

道の真ん中の線の半径は$3 + \frac{a}{2}$mである。

よって、道の真ん中を通る線の長さ$l$は、

$l = 2 \times 10 + 2 \times \frac{1}{2} \times 2\pi(3+\frac{a}{2}) = 20 + 2\pi(3+\frac{a}{2}) = 20 + 6\pi + a\pi$

次に、$al$を計算する。

$al = a(20 + 6\pi + a\pi) = 20a + 6\pi a + a^2\pi = a(6\pi + a\pi + 20)$

したがって、$S = a(6\pi + a\pi + 20)$、 $al = a(6\pi + a\pi + 20)$より、$S=al$が成り立つ。

ア：$6a\pi + a^2 \pi + 20a$

イ：$3 + \frac{a}{2}$

ウ：$20 + 6\pi + a\pi$

3. 最終的な答え

ア：$6a\pi + a^2 \pi + 20a$

イ：$3 + \frac{a}{2}$

ウ：$20 + 6\pi + a\pi$